《測圓海鏡》勾股形“月山泛”﹝13﹞之五和五較說

《測圓海鏡》勾股形“月山泛”﹝13﹞之五和五較說

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo XiāngGuǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，其書之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。此等勾股形三邊形成一系列之恆等式，本文主要談及第13勾股形月山泛相關之五和五較等式。

關鍵詞：太虛弦、太虛股、太虛勾、月山泛

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於 1248 年，時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式，本文介紹其部分等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形，a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a₁、b₁、c₁ 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。

《測圓海鏡》之〈諸雜名目〉篇涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。注意勾股定理成立，即  a_i² + b_i² = c_i²。

有關以 a₁、b₁、c₁ 表 a_i、b_i、c_i 之式可參閱筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”。

本文談及之勾股形乃“月山泛”，一作“月山水”﹝又稱為“太虛”，或簡稱為“虛”﹞，筆者有文談論以“月山水”為佳。

以下兩圖帶藍色之二勾股形即為“月山泛”，月山泛之斜邊“山地”是為太虛弦，其直角為 13，以 13 之位置為 “泛”，其勾股與弦分別為  a₁₃﹝月山﹞、b₁₃﹝月泛﹞ 與 c₁₃﹝山泛﹞。

注意以下之“月山水”名稱：

注意圓徑為 a₁ + b₁ – c₁，見上圖之東南西北。

以下為月山泛勾股形之三事﹝三事，三邊之長也﹞：

太虛勾：a₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

太虛股：b₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

太虛弦：c₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

山地艮勾股形之三事和或較亦可以以 a₁、b₁、c₁ 表之。

若勾股形之弦 = c，勾 = a，股 = b，則以下為五和五較：

(1)      勾股和：a + b

(2)      勾股較：b – a

(3)      勾弦和：a + c

(4)      勾弦較：c – a

(5)      股弦和：b + c

(6)      股弦較：c – b

(7)      弦較和：c + (b – a) ﹝較指勾股較，和指弦與勾股較之和﹞

(8)      弦較較：c – (b – a) ﹝第一較字指勾股較，第二較字指弦與勾股較之較﹞

(9)      弦和和：(a + b) + c ﹝第一和字指勾股和，第二和字指弦與勾股和之和。又稱為三事和﹞

(10)      弦和較：(a + b) – c ﹝第一和字指勾股和，第二較字指弦與勾股和之較。又稱為三事較﹞

以下為與太虛弦﹝勾股形山地艮 (13)﹞有關五和五較之等式：

太虛勾股和即圓徑內減虛弦。又為虛弦虛黃方共。又為皇極弦內去明股

勾共。其差則大差勾內減個小差股也。勾弦共即小差股也。其較則虛股內減個小黃方也。股弦共即大差勾。其較則虛勾內減個小黃方也。弦較和為大差弦上弦和較。又黃長弦上勾弦較。又為兩個明勾。其較小差弦上黃方面也。三事和即大黃方。其較則為兩個明弦上股弦較。又為

弦上兩個勾弦較。又為明弦上小差與

弦上大差共也。

以下為各條目之証明：

太虛勾股和即圓徑內減虛弦。

太虛勾股和=b₁₃ + a₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)]

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[

+

]

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ + a₁)。

已知圓徑為 a₁ + b₁ – c₁，虛弦 = c₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

圓徑內減虛弦 = (a₁ + b₁ – c₁) –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)²

= (a₁ + b₁ – c₁)[1 –

(a₁ + b₁ – c₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(2a₁b₁– c₁a₁ – c₁b₁ + c₁²)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(2a₁b₁– c₁a₁ – c₁b₁ + a₁² + b₁²)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[(a₁ + b₁)² – c₁(a₁ + b₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + b₁)[(a₁ + b₁) – c₁]

=

(a₁ + b₁ – c₁)²(a₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ + a₁)。

注意等式 (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) =

(a₁ + b₁ – c₁)²。

所以太虛勾股和 = 圓徑內減虛弦。

又為虛弦虛黃方共。

已知虛黃方 = a₁₃ + b₁₃ – c₁₃

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) 。

﹝黃方定義可參閱筆者另文。﹞

虛弦虛黃方共

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[

+

]

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ + a₁)。

很明顯太虛勾股和= 虛弦 + 虛黃方。

又為皇極弦內去明股

勾共。

已知皇極弦﹝日川﹞：c₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁) 。

明股：b₁₄ =

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

勾：a₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

皇極弦內去明股

勾

= c₁₂ – (b₁₄ + a₁₅)= c₁₂ – b₁₄ – a₁₅

=

(a₁ + b₁ – c₁) –

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[

–

(c₁ – a₁) –

(c₁ – b₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁² –b₁c₁ + b₁a₁ – a₁c₁ + a₁b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁²+ b₁² – b₁c₁ + 2b₁a₁ – a₁c₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ + a₁)﹝步驟同前﹞。

所以太虛勾股和 = 皇極弦內去明股

勾共。

其差則大差勾內減个小差股也。

“其差”指太虛勾股較。

太虛勾股較 = b₁₃ – a₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)]

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[

–

]

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁)。

已知坤月勾﹝又稱大差勾﹞：a₁₀ =

=

(c₁ – a₁) 。

山艮股﹝又稱小差股﹞：b₁₁ =

=

(c₁ – b₁) 。

大差勾內減個小差股= a₁₀ – b₁₁

a₁₀ – b₁₁ =

(c₁ – a₁) –

(c₁ – b₁)

=

[a₁²(c₁ – a₁) – b₁²(c₁ – b₁)]

=

[a₁²c₁ – a₁³ –b₁²c₁ + b₁³]

=

[(b₁ – a₁)(a₁²+ b₁a₁ + b₁²)– c₁(b₁ – a₁)(b₁ + a₁)

=

[(b₁ – a₁)(c₁²+ b₁a₁) – (b₁ – a₁)(c₁b₁ + c₁a₁)]

=

(b₁ – a₁)(c₁²+ b₁a₁ – c₁b₁ – c₁a₁)

=

(b₁ – a₁)[c₁(c₁ – b₁) – a₁(c₁ – b₁)]

=

(b₁ – a₁)(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

所以太虛勾股較 = 大差勾內減個小差股。

勾弦共即小差股也。

太虛勾弦共=c₁₃ + a₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[

+ 1]

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(c₁ + a₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁² – a₁²)

=

(c₁ – b₁)b₁²

=

(c₁ – b₁)

= 小差股﹝見前式﹞。

所以太虛勾弦共 = 小差股。

其較則虛股內減個小黃方也。

“其較”指太虛勾弦較。“小黃方”指勾股形“月山泛”之黃方，即
a₁₃ + b₁₃ – c₁₃。

太虛勾弦較=c₁₃ – a₁₃=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[

– 1]

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(c₁ – a₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)²。

虛股內減個小黃方= b₁₃ – (a₁₃ + b₁₃– c₁₃)

= c₁₃ – a₁₃

= 太虛勾弦較

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)²﹝見前式﹞。

股弦共即大差勾。

太虛股弦共= c₁₃ + b₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[

+ 1]

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(c₁ + b₁)

=

(c₁ – a₁)(c₁² – b₁²)

=

(c₁ – a₁)a₁²

=

(c₁ – a₁) 。

已知坤月勾﹝又稱大差勾﹞：a₁₀ =

=

(c₁ – a₁) 。

所以太虛股弦共= 大差勾。

其較則虛勾內減個小黃方也。

“其較”指太虛股弦較。

太虛股弦較= c₁₃ – b₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[

– 1]

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(c₁ – b₁)

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)²。

虛勾內減個小黃方 = a₁₃ – (a₁₃ + b₁₃ – c₁₃)= c₁₃ – b₁₃

= 太虛股弦較。

弦較和為大差弦上弦和較。

太虛弦較和=c₁₃ + (b₁₃ – a₁₃) = c₁₃+ b₁₃ – a₁₃。

c₁₃ + b₁₃ – a₁₃

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[

+

–

]

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(c₁ + b₁ – a₁)

=

(c₁ – a₁)(c₁² – b₁² –a₁c₁ + a₁b₁)

=

(c₁ – a₁)(a₁² – a₁c₁ + a₁b₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁) 。

大差上三事較即弦和較 = (b₁₀ + a₁₀) – c₁₀ = b₁₀ + a₁₀ – c₁₀。

b₁₀ + a₁₀ – c₁₀ =(c₁ – a₁) +

(c₁ – a₁) –

(c₁ – a₁)

= (c₁– a₁)[ 1 +

–

]

=

(c₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁) 。

所以太虛弦較和 = 大差弦上弦和較。

又黃長弦上勾弦較。

黃長弦上勾弦較 = c₅ – a₅=

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – a₁)

=

[b₁ –(c₁ – a₁)](c₁ – a₁)

=

(b₁c₁ – b₁a₁– c₁² – a₁²+ 2c₁a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

所以太虛弦較和 = 黃長弦上勾弦較。

又為兩個明勾。

又已知明勾 = a₁₄=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)，

兩個明勾= 2 ×

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

所以太虛弦較和 = 兩個明勾。

其較小差弦上黃方面也。

“其較”指太虛弦較較。

太虛弦較較 = c₁₃ –(b₁₃ – a₁₃) = c₁₃ – b₁₃+ a₁₃。

c₁₃ – b₁₃ + a₁₃

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(c₁ – b₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(c₁ – b₁ + a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)²(c₁ – b₁ + a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[a₁ –(c₁ – b₁)]( a₁ + c₁ – b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[a₁² – (c₁ – b₁)²]

=

(a₁ + b₁ – c₁)[a₁² – c₁² –b₁² + 2b₁c₁]

=

(a₁ + b₁ – c₁)[ –2b₁² + 2b₁c₁]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – b₁)。

小差弦上黃方面即弦和較。

小差弦上三事較= 小差弦上弦和較 =(a₁₁ + b₁₁) – c₁₁ = a₁₁+ b₁₁ – c₁₁

= –

(c₁ – b₁) +

(c₁ – b₁) + (c₁ – b₁)

=

(c₁ – b₁)( – c₁ + b₁ + a₁) 。

所以太虛弦較較 = 小差弦上黃方面。

三事和即大黃方。

太虛弦三事和即弦和和 = c₁₃ + b₁₃ + a₁₃。

c₁₃ + b₁₃ + a₁₃

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(c₁ + b₁ + a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)²(c₁ + b₁ + a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + b₁ + a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[(a₁ + b₁)²– c₁²]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁² + b₁² –c₁² + 2a₁b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)×2a₁b₁

= a₁ + b₁ – c₁

= 大黃方﹝即大圓徑﹞。

其較則為兩個明弦上股弦較。

“其較”指太虛弦三事較 = 弦和較 = b₁₃ + a₁₃ – c₁₃。

–       c₁₃ + b₁₃ + a₁₃

= –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(– c₁ + b₁ + a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)²(– c₁ + b₁ + a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)²(a₁ + b₁ – c₁)

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁ – c₁) 。

注意 (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) =

(a₁ + b₁ – c₁)²。

明弦上股即明股：b₁₄ =

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

明弦：c₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

明弦上股弦較=c₁₄ – b₁₄

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) –

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[

– 1]

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁ – c₁)。

兩個明弦上股弦較 = 2×

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁ – c₁)

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁ – c₁) 。

所以太虛弦三事較 = 兩個明弦上股弦較。

又為

弦上兩個勾弦較。

弦上

勾：a₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

弦上

弦：c₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

弦上勾弦較 =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(

– 1)

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁ – c₁)。

兩個勾弦較= 2 ×

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁ – c₁)

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁ – c₁)。

所以太虛弦三事較 =

弦上兩個勾弦較。

又為明弦上小差與

弦上大差共也。

因為明弦上小差= 明弦上股弦較

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁ – c₁)﹝見前﹞，

又因為

弦上大差 =

弦上勾弦較

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁ – c₁)。

以上二差共=2 ×

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁ – c₁)

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁ – c₁)。

所以太虛弦三事較 = 明弦上小差與

弦上大差共。

以下為《測圓海鏡》原文：