初中数学—最全将军饮马问题（最值问题）

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唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:'白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。'诗中隐含着一个有趣的数学问题。

传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。

将军每天从军营A出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短?

从此，这个被称为'将军饮马'的问题广泛流传。

这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它。

抽象为数学模型：直线l同侧有两个定点A、B,请在直线l上找一点C,使AC+BC最小。

假设点A、B在直线l的一侧就好了，这样我们就可以利用【点到点最值模型：两点之间线段最短】找到点C的位置了。即连接AB交直线l于点C。

因此，我们可以找点A关于直线l的对称点，再连接A’B交直线l于点C，点C即为所求！

如果将军在河边的另外任一点C'饮马，

所走的路程就是AC'+C'B但是，AC'+C'B=A'C'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB.故在点C处饮马，路程最短。

掌握了这个“将军饮马模型”的原理和结论后，我们来具体挑战一下吧！

第一关：角中应用

1、如图，已知两点P、Q在锐角∠AOB内，分别在OA、OB上求点M、N，使PM＋MN＋NQ最短．

解析：如图，分别作点P、点Q关于OA、OB的对称点P’,Q’,分别交OA、OB于点M、点N。

PM＋MN＋NQ=P’M+MN+N’Q,当点Q’,P’,M,N共线时，最小为P’Q’。

第二关：三角形中应用

2、已知，如图△ABC为等边三角形，高AH=10cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB的最小值为______cm.

解析：连接PC，∵△ABC为等边三角形，

D为AB的中点，

∴PD+PB的最小值为：

PD+PB=PC+PD=CD=AH=10cm.

第三关：四边形中应用

3、如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上一动点,则DN+MN的最小值为

解析：如图，连接BM，

∵点B和点D关于直线AC对称，

∴NB=ND，

则BM就是DN+MN的最小值，

∵正方形ABCD的边长是8，DM=2，

∴CM=6，

∴由勾股定理得BM=10，

∴DN+MN的最小值是10.

第四关：圆中应用

4、如图,MN是O的直径,MN=2,点A在O上,∠AMN=30∘，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为___.

解析：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点。

此时PA+PB最小，且等于AC的长。

连接OA，OC，

∵∠AMN=30∘，

∴∠AON=60∘，

∴弧AN的度数是60∘，

则弧BN的度数是30∘，

根据垂径定理得弧CN的度数是30∘，

则∠AOC=90∘，又OA=OC=1，

则AC=√2

第五关：二次函数中应用

5、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A，B，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

解析：（1）设y=a(x+1)(x-3),将（0，3）代入得a=-1,故y=-(x+1)(x-3)

(2)在x轴上任找一点D,连接AD、BD,则AD=BD，故AD+CD=BD+CD最小值为BC,易得直线BC的表达式为y=-x+3，对称轴x=1,则y=-1+3=2,故此时D(1，2)

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