费曼的积分技巧
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我们讲一个费曼的故事。费曼是美国物理学家，诺贝尔物理学奖获得者。他的许多趣闻至今被人们津津乐道。其中一个就是他的第二任妻子跟他离婚时的理由就是他“一起床就开始不停地思考微积分问题”。事实上，他确实陶醉于自己的微积分解题技巧。用他自己的话来说就是：“我做积分的声誉很高，只是因为我的工具箱与其他人不同”。他所说的工具就是这个费曼积分技巧。
下面这道题就是费曼在他自学微积分时所用的课本里的题目：
费曼的办法就是把这个积分看作是 的函数，然后对 求导数。读者大概已经明白是什么意思了。我们今天把这个方法称作“莱布尼茨积分法则”，就是在积分符号内取微分的法则。它的一个特殊情况就是下面的等式：
现在记
然后对 取导数：
为了计算最后的积分 ，让我们做变量替换 ，代入上式可得
再做一次变量替换 ，我们得到
所以有
从而 。现在我们计算 如下：
记. 用变换 ，我们容易得到 。于是
所以有 。有多个方法可以计算上面的积分。让我们忽略细节，最后可以得到 。所以 。我们最后得到
在上面这个例子中，我们已经有一个参数 。但有的时候，积分中没有参数，需要读者自己创造性地做出一个参数来。让我们再看一个普特南竞赛（William Lowell Putnam Mathematical Competition）的例子。普特南竞赛是美国和加拿大高等教育机构注册的本科大学生的年度数学竞赛。竞赛分两部分：A1-A6,B1-B6。每题 10 分。每部分的后两题都特别难。它被广泛认为是世界上最负盛名的大学数学竞赛，它的难度在于，尽管专门研究数学的学生尝试了，但中位分数往往为 0 或 1（总分 120 分）。下面的积分来自 2005 年的普特南竞赛：A5. 计算积分
这是 A5 题。所以可以想象它一定非常难。我们借用费曼的工具来试一个。令
于是我们有了一个 的函数。我们把计算留给读者。它的答案是 。
费曼曾经说过：“我宁愿要无法回答的问题，也不要不能质疑的答案。”请读者一定要质疑一下我们给的答案。
费曼对路径积分的喜爱是有原因的。费曼在 1948 年发展的路径积分表述（path integral formulation）是理论物理学发展的重要工具之一。在物理学上，人们可能好奇为什么光会走直线，电子会绕原子核转动。为什么不是别的路径呢？这就是费曼考虑的路径积分表述的出发点。路径积分表述的意思是历史总和，就是从一个点到另一个点的包括所有空间的和时间的路径的积分。不同的路径有不同的概率振幅，那么这条路径的权重也就会大一些。然后对所有的路径求和。这个方法看上去不可思议。但到后来，当有些物理学家想要探测量子力学的极限，并试着把它应用到重力或甚至宇宙学上时，居然发现费曼的方法提供了一个描述量子宇宙的最好计算工具。这方面有他的一部书《量子力学与路径积分》（Quantum Mechanics and Path Integrals），可供有兴趣的读者阅读。
费曼对复杂函数的求导也有他独特的技巧。不过，求导数总是相对容易的多。
参考文献
Richard Feynman’s Integral Trick, https://medium.com/dialogue-and-discourse/richard-feynmans-integral-trick-e7afae85e25c .
The 66th William Lowell Putnam Mathematical Competition Saturday, December 3, 2005, http://kskedlaya.org/putnam-archive/2005.pdf .