“半角模型”又一题
王 桥
今天分享一道小题。请看题:
例1、如图,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起,A为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,它们的斜边长为2.若△ABC固定不动,△AFG绕点A旋转,AF,AG与边BC的交点分别为D,E(点D不与点B重合,点E不与点C重合).
(1)请写出图中所有的相似三角形;
(2)若BD=1/2,求CE.——选自《沙场秋点兵》——“相似三角形的九大模型”
【解析】(1)图中相似的三角形有:
①△ABC∽△AGF——注意:全等是相似比为1的特殊的相似;
②△BEA∽△AED;
③△CDA∽△ADE
④△BEA∽△CAD——相似三角形具有传递性;
(2)策略一:直接套模型
如果知道了“90°含45°半角模型”的结论,可直接套用公式“DE2=BD2+CE2”秒杀——详见《春季攻势》第12讲“对角互补和半角模型”及《冲刺十招》第5讲“胸有成竹会'建模’”。即:
那么,这个结论怎么证明呢?由于《春季攻势》和《冲刺十招》都没有对这个结论进行证明,这里不妨证明一下。
方法1:运用半角模型的旋转策略(详见《老王的数学公众号》“小议'倍角含半角模型’(1)”)
如图1:作BM⊥BC,并截取BM=EC,连接AM,DM,则∠ABM=∠ABC=∠C=45°,则易证明△AMB≌△AEC,∴AM=AE,MD=EC,∠MAB=∠EAC。∵∠BAC=90°,∠FAG=45°,则∠BAD+∠EAC=45°,∴∠MAD=∠MAB+∠BAD=45°=∠EAD。则易证明△AMD≌△AED,则DE=DM。在Rt△MBD中,∵MD2=BD2+BM2,∴DE2=BD2+CE2。
一般这类“旋转”可达目的的,顺时针旋转可以,逆时针旋转也一定行:
方法2:运用半角模型的旋转策略(详见《老王的数学》公众号“小议'倍角含半角模型’(1)”)
如图2:作CN⊥BC,并截取CN=BD,连接AN,EN,则∠ABM=∠ABC=∠C=45°,则易证明△ABD≌△ACN,再易证明△ANE≌△ADE,则DE=EN。在Rt△NEC中,∵NE2=EC2+NC2,∴DE2=BD2+CE2。
方法3:运用半角模型的折叠策略(详见《老王的数学》公众号“小议'倍角含半角模型’(1)”)
如图3:把△ABD和△ACE分别沿着AD、AE折叠,AB和AC重合于点P,则易知∠DPE=90°,且PD=BD,CE=PE。∵DE2=PD2+PE2,∴DE2=BD2+CE2。
策略二:整体思想
方法4:直接运用“相似三角形的对应边成比例”构造方程求DE
反思:这道题目不算很难,但是对于一般的同学们来说,想要做出来却不见得很轻松。容易出错及容易卡壳的地方有:
1、对于基本概念不准确,不知道“全等三角形是特殊的相似三角形”,容易把“△ABC∽△AGF”给漏掉;
2、对相似三角形的传递性不熟悉,容易遗漏“△BEA∽△CAD”这一对相似三角形;
3、对于求DE没有策略。
这里虽然给出了4种方法,相信还会有更多的方法。任何一种方法都值得尊重。我们都在寻找解决问题的“通法”和“特法”的道路上摸索,可能某种方法在解决谋道问题的时候比较繁琐,但可能这种方法却是能够轻易打开另一道题目的钥匙;可能某种方法解决这道题目比较简单快捷,而解决另一道题目就会繁琐或者失灵。任何一种方法都具有一定的适用性和局限性。经过大量的练习,从茫茫题海中总结出一些做题的方法,并能运用之解决一类问题,这难道不是多题归一的“建模”?而运用已经掌握的做题方法(或者“模型”)来解决一类问题不正是数学“建模”的目的所在吗?
记住了某些“模型”,有时候就能起到一剑封喉的神奇效果(客观性题目直出结果,主观性题目“执果索因”)——何乐而不为?;见“倍角含半角”,用旋转策略或者折叠策略——几乎屡试不爽!在大前提不变的情况下,前面已经证明过的结论直接“拿来主义”的“整体策略”——也经常在做题时大显身手!知线段、求线段、造方程——“构造方程法”难道不是求值类问题的最大通法?