课例：积的变化规律
【教学内容】
人教版义务教育教科书《数学四年级上册》第51页例3。
【教学目标】
(1) 探索积的变化规律,能运用规律使一些计算简便。
(2)经历探索积的变化规律的过程, 积累探索规律和表征规律的经验,培养思维的全面性、严谨性以及概括和表达能力。
(3) 通过探索积的变化规律，感受数与形的密切联系，体会发现数学规律的乐趣，培养学习数学的兴趣。
【重点】
经历探索规律的一般过程，理解并掌握积的变化规律。
【难点】
全面严谨地观察思考、用简洁的语言符号表征规律。
【教学过程】
借助图形举例，初步感知规律。
师：数学是研究数与形的科学，那我们来看一个长方形。
出示长方形，计算面积。
预设：6×2=12 （ 板书：6×2=12）
出示长方形宽不变，长变大的过程。
师：现在长方形的面积是多少？
预设：6×20=120 （ 板书：6×20=120）
课件出示长方形宽不变，长继续变大。
师：现在宽为6不变，长变成200，面积变成了多少呢？
预设：6×200=1200 （ 板书：6×200=1200）
师：通过计算长方形的面积，现在我们得到了3个乘法算式①式，②式，③式，（师指第一个因数的位置）在乘法中，这部分叫做——
生：因数。
（师分别指第二个因数和积的位置）
生：因数、积。（师贴出：因数×因数 = 积）
师：结合长方形的变化，我们发现长方形的面积越来越（停顿）大。也就是乘法算式中的积越来越大。
师：观察这3道算式，积为什么会越来越大？
生汇报。
师：你能上台指着算式用因数、因数、积来说一说吗？
生：一个因数不变，另一个因数越来越大，积也越来越大。
二、探究新知。
（一）探究因数变大，积也变大的规律。
1.自主合作探究。
师：积会随着因数的变化而变化。那积的变化和因数的变化之间到底有什么样的关系呢？今天我们就一起来研究积的变化规律。（板书课题：积的变化规律）
想要研究这个问题，我们就要找到因数的变化和积的变化，再来探究它们之间的联系。带着这个思路，请拿出自主学习单。完成任务一。学习建议，请人来读一读。
学习建议：
1.先独立思考，每两道算式之间进行观察、比较，找出因数和积的变化。
2.可以用箭头等符号在算式上写一写、画一画，争取让别人一眼就能看出你的发现。
3.完成后，请把你的发现，用简洁的语言在小组内说一说。（4人为一组）
师巡视，给探究有困难的学生提供锦囊。
锦囊：
1.第2算式同第1算式比，第一个因数不变，第二个因数乘了（ ）， 积（ ）。
2.第3算式同第1算式比，第一个因数不变，第二个因数乘了（ ），积（ ）。
生自主完成探究。
自主学习单：
任务一：
观察下面这组算式，说一说你发现了什么？
（1） 6 × 2 = 12
（2） 6 × 20 = 120
（3） 6 × 200 = 1200
学习建议：
1.先独立思考，每两题之间进行观察、比较，找出因数和积的变化。
2.可以用箭头等符号在算式上写一写、画一画，争取让别人一眼就能看出你的发现。
3.请把你的发现，用简洁的语言在小组内说一说。（4人为一组）。
任务二：
【验证】
2.汇报：
预设1：
第2道算式同第1道算式比，第一个因数不变，第二个因数乘了10，积乘了10。
第3道算式同第2道算式比，第一个因数不变，第二个因数乘了10，积乘了10。
师：一个因数不变，另一个因数乘10，积乘10，另一个因数乘100，积乘100，积和因数乘的数是一样的，并且积是随着因数的变化而变化。所以我们说一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几，要加一个也字。
预设2：
第2道算式同第1道算式比，第一个因数不变，第二个因数乘了10，积也乘10。
第3道算式同第2道算式比，第一个因数不变，第二个因数乘了10，积也乘10。
第3道算式同第1道算式比，第二个因数乘了100，积也乘100。
问生1，师：你觉得生2的作品怎么样？
生：他还拿第3道算式同第1道算式比了，更全面。
师圈出也字。
师：为什么加个也字？
预设①：积随着因数的变化而变化。
预设②：积的变化和因数的变化是一样的。
补充板书：
师：你们找到了因数之间、积之间的倍数关系，可以用×10、×100来表示变化了多少，这样既简洁又明了。
3.举例验证
师：一个因数不变，另一个因数除了乘10、乘100还可以怎样变？那积又会怎样变？你们可以自己举例子验证吗？写在自主学习单上任务二下面空白处，计时1分钟。
师：谁来说一说你写的算式。
汇报。
预设：我写的算式是
6×2=12
6×8=48。
师：你是怎么想到这算式的？
预设1：6不变，2×4=8，6×8=48
师：你是计算出了乘积，你写的算式能说明积的变化规律？
预设2：另一个因数2乘了4，积12也要乘4就是48。
师：你是用规律推理出了算式的乘积，我们横着检查这个乘法算式，乘积对不对？
师：具有这种规律的所有乘法算式能写完吗？
预设：写不完。
师：那下面这项任务可太具有挑战性了！谁能把永远也写不完的算式中藏着的规律，用一句话总结出来。
预设：一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几。
（板书：一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几。）
师：你能举例说明你发现的规律吗？
小结：
师：回顾我们探索积变大的规律的方法，我们可以从上往下有序地将一个算式和另一个算式进行比较，观察哪里没有变，哪里变了，计算变化有多大，找出变化之间的联系，从而发现规律。
（二）探究因数变小，积也变小的规律。
1.自主合作探究
师：老师这里还有一组乘法算式，你能带着刚才的经验继续研究比较吗？请独立完成研究问题，总结，验证这三步，完成后请同桌间交流一下你发现的规律。总计时：4分钟。现在开始你们的探究。
自主学习单：
观察下面这组算式，说一说你发现了什么？
（1） 20× 4 = 80
（2） 10×4 = 40
（3） 5×4 = 20
【研究问题】
独立思考，你有什么发现？
【总结】
我发现：
【验证】：
3. 汇报：
师：你有什么发现？谁来指着算式说一说。
预设1：
第二个因数不变，第一个因数除以2，除以4，积也除以2，除以4。
预设2：
第二个因数不变，第一个因数除以几，积也除以几。
师：除以几都可以吗？6÷0等于几呢？
生：没有。
师：除数不能为0，这里我们要注意0除外。我们把规律进行完善：
一个因数不变，另一个因数除以几（0除外），积也除以相同的数。看来，乘法算式的积不仅可以随因数变大而变大，还可以随因数变小而变小。
师：第一组题中有没有因数变小，积也变小的规律呢？
师：我们在探寻一组算式的变化规律时，除了从上往下观察，还能----（从下往上观察），谁来指着算式说一说，你有什么发现？
师：第二组题中有没有因数变大，积变大的规律呢？谁来指着算式说一说，你有什么发现？
师小结：看来观察的角度越全面，得到的结论才更完整。
4.归纳总结规律。
我们能不能把这两条规律合并起来描述？谁来？
预设：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）几。
小结：我们今天发现的规律是一个，它就是积的变化规律。
三、回顾运用，温故知新。
（一）借助形，回顾运用规律
1.数形结合，以形补数。
过渡：回到这组长方形。
课件出示：
师：长方形的长、宽、面积怎样变化？
预设：长不变，宽×10，面积也乘10。
师：反过来看呢？
预设：长不变，宽÷10，面积也÷10。
小结：如果乘法算式表示的是长方形的长乘宽，那么积的变化规律以长方形为例，就是面积的变化规律：长方形的长不变，宽乘几，面积也乘几。反过来看，长方形的长不变，宽除以几，面积也除以几。
小结：数学家华罗庚说得好：数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，割裂分家万事非。我们再运用积的变化规律来解决一道与长方形面积有关的问题，好吗？
2．在形中，再次理解运用规律
完成课本51页，做一做，第2题。
重点理解题目中宽增加到24米。
生独立思考，汇报，点评。
（二）整十、整百数乘一位数口算的回顾
过渡：其实，在我们的数学学习中，很早就运用了积的变化规律，这是三年级我们学口算乘法时，课本的习题，类似这样的口算，我们做过很多吧？除了口算，你还能运用今天学的积的变化规律，计算第一组题吗？
可加课本54页第一题的第3组题。（依具体时间来定）
（三）笔算乘法的回顾
回顾四年级上册第四单元，三位数乘两位数的例2。
师：你能够用“积的变化规律”来解释这样书写的道理吗？
四、课堂小结
师：积有变化规律，那积有没有不变的规律呢？
五、拓展练习
反思：
数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，有助于学生形成良好的认知结构，有助于真正提高学生的数学素养并使他们终身受益。教学中笔者力求通过猜想规律——计算给定的题组——在比较观察中初步发现规律——自主举例进一步验证规律——交流中确认规律等一系列过程，让学生自然地体会到数学学习中常用的不完全归纳的一般过程，渗透了数学的思想与方法。
更重要的是，通过及时的回顾，使学生有效积累数学活动经验， 通过回顾发现规律的过程：观察实例、大胆猜想、小心验证、发现规律，为后续研究打下扎实的基础。学生在这一过程中获得的不仅仅是简单意义上的“结论”，更是“结论”怎么来的过程，是数学方法的内化，所有这些都强调了数学教学的本真意义。学生经历这样的过程， 不仅有助于积累探索规律的经验与方法，更有助于进一步去发现其他的数学规律，并逐步形成发现规律的敏锐眼光。