程序员必学算法「动态规划」：爬楼梯（完全背包解法）
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之前讲这道题目的时候，因为还没有讲背包问题，所以就只是讲了一下爬楼梯最直接的动规方法（斐波那契）。
这次终于讲到了背包问题，我选择带录友们再爬一次楼梯！
此情此景，借用一下《无间道》的台词 哈哈哈。
70. 爬楼梯
链接：https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。
示例 1：
输入：2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1 阶 1 阶
2 阶
示例 2：
输入：3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1 阶 1 阶 1 阶
1 阶 2 阶
2 阶 1 阶
思路
这道题目 我们在动态规划：爬楼梯 中已经讲过一次了，原题其实是一道简单动规的题目。
既然这么简单为什么还要讲呢，其实本题稍加改动就是一道面试好题。
改为：每次可以爬 1 、 2或者m 个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
1阶，2阶，m阶就是物品，楼顶就是背包。
每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。
问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。
此时大家应该发现这就是一个完全背包问题了！
和昨天的题目动态规划：377. 组合总和 Ⅳ基本就是一道题了。
动规五部曲分析如下：
确定dp数组以及下标的含义
dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。
确定递推公式
在动态规划：494.目标和 、 动态规划：518.零钱兑换II、动态规划：377. 组合总和 Ⅳ中我们都讲过了，求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] = dp[i - nums[j]];
本题呢，dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]
那么递推公式为：dp[i] = dp[i - j]
dp数组如何初始化
既然递归公式是 dp[i] = dp[i - j]，那么dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在，如果dp[0]是0的话，其他数值都是0了。
下标非0的dp[i]初始化为0，因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的，dp[i]本身为0这样才不会影响结果
确定遍历顺序
这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不！
所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。
每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。
举例来推导dp数组
介于本题和动态规划：377. 组合总和 Ⅳ几乎是一样的，这里我就不再重复举例了。
以上分析完毕，C 代码如下：
class Solution {public: int climbStairs(int n) { vector<int> dp(n 1, 0); dp[0] = 1; for (int i = 1; i <= n; i ) { // 遍历背包 for (int j = 1; j <= m; j ) { // 遍历物品 if (i - j >= 0) dp[i] = dp[i - j]; } } return dp[n]; }};代码中m表示最多可以爬m个台阶，代码中把m改成2就是本题70.爬楼梯可以AC的代码了。
总结
本题看起来是一道简单题目，稍稍进阶一下其实就是一个完全背包！
如果我来面试的话，我就会先给候选人出一个 本题原题，看其表现，如果顺利写出来，进而在要求每次可以爬[1 - m]个台阶应该怎么写。
顺便再考察一下两个for循环的嵌套顺序，为什么target放外面，nums放里面。
这就能考察对背包问题本质的掌握程度，候选人是不是刷题背公式，一眼就看出来了。
这么一连套下来，如果候选人都能答出来，相信任何一位面试官都是非常满意的。
本题代码不长，题目也很普通，但稍稍一进阶就可以考察完全背包，而且题目进阶的内容在leetcode上并没有原题，一定程度上就可以排除掉刷题党了，简直是面试题目的绝佳选择！
力扣刷题指南：https://github.com/youngyangyang04/leetcode-master