【Hello NLP】CS224n学习笔记[3]:共现矩阵、SVD与GloVe词向量
相比于计算机视觉，NLP可能看起来没有那么有趣，这里没有酷炫的图像识别、AI作画、自动驾驶，我们要面对的，几乎都是枯燥的文本、语言、文字。但是，对于人工智能的征途来说，NLP才是皇冠上的那颗珍珠，它美丽却又难以摘取，当NLP的问题解决了，机器才真正具备了理解、思考的能力，我们才敢说实现了真正的“智能”。
SimpleAI 【HelloNLP】系列笔记，主要参考各知名网课（Stanford CS224n、DeepLearning.ai、李宏毅机器学习等等），并配合NLP的经典论文和研究成果、我的个人项目实践经验总结而成。希望能和各位NLP爱好者一起探索这颗AI皇冠的明珠！
CS224n笔记[3]:共现矩阵、SVD与GloVe词向量
作者：郭必扬
在第一节（CS224n学习笔记[1]:词向量从而何来）中，我们讨论了人们对词语的几种表示方法，有WordNet这样的电子词典法，还有one-hot这样的离散表示法，后来我们介绍了Word2Vec词向量这样的低维分布式表示法。实际上，还有另外一派做法。
基于共现矩阵的词向量
我们再回顾一下Word2Vec的思想：
让相邻的词的向量表示相似。
我们实际上还有一种更加简单的思路——使用「词语共现性」，来构建词向量，也可以达到这样的目的。即，我们直接统计哪些词是经常一起出现的，那么这些词肯定就是相似的。那么，每一个词，都可以做一个这样的统计，得到一个共现矩阵。这里直接贴一个cs224n上的例子：
上面的例子中，给出了三句话，假设这就是我们全部的语料。我们使用一个size=1的窗口，对每句话依次进行滑动，相当于只统计紧邻的词。这样就可以得到一个共现矩阵。
共现矩阵的每一列，自然可以当做这个词的一个向量表示。这样的表示明显优于one-hot表示，因为它的每一维都有含义——共现次数，因此这样的向量表示可以求词语之间的相似度。
然后这样表示还有有一些问题：
维度=词汇量大小，还是太大了； 还是太过于稀疏，在做下游任务的时候依然不够方便。
但是，维度问题，我们有解决方法——「SVD矩阵分解」！我们将巨大的共现矩阵进行SVD分解后，只选取最重要的几个特征值，得到每一个词的低维表示。
图中的A在我们的场景中就是共现矩阵，、、就是分解出的三个矩阵。我们只「选择U矩阵的前r维来作为词的向量表示」。
上述的过程使用python编程十分简单，这里也是直接引用cs224n课程中的例子：
可见，即使这么简单的三句话构建的语料，我们通过构建共现矩阵、进行SVD降维、可视化，依然呈现出了类似Word2Vec的效果。
但是，由于共现矩阵巨大，SVD分解的计算代价也是很大的。另外，像a、the、is这种词，与其他词共现的次数太多，也会很影响效果。
所以，我们需要使用很多技巧，来改善这样的词向量。例如，直接把一些常见且意义不大的词忽略掉；把极度不平衡的计数压缩到一个范围；使用皮尔森相关系数，来代替共现次数。等等很多技巧。因此就有了2005年的论文《An Improved Model of Semantic Similarity Based on Lexical Co-Occurrence》提出的COALS模型。这个模型训练得到的词向量，也表现出了很多有趣的性质，跟我们熟悉的Word2Vec十分类似。
基于共现矩阵的词向量 vs. Word2Vec词向量
上面的介绍中，我们发现基于共现矩阵的词向量，也可以表现出很多优秀的性质，它也可以得到一个低维的向量表示，进行相似度的计算，甚至也可以做一定的推理（即存在man is to king as women is to queen这样的关系）。但是，它主要的问题在于两方面：
SVD要分解一个巨型的稀疏矩阵（共现矩阵），计算开销大，甚至无法计算； 需要进行复杂麻烦的预处理，例如计数的规范化、清除常见词、使用皮尔森系数等等。
而「Word2Vec」的算法，「不需要一次性处理这么大量的数据」，而是通过「迭代」的方式，一批一批地进行处理，不断迭代词向量参数，使得我们可以处理海量的语料，构建十分稳健的词向量。所以在实验中，Word2Vec的表现，一般都要优于传统的SVD类方法。
但是，「基于共现矩阵的方法也有其优势」，那就是「充分利用了全局的统计信息」。因为我们进行矩阵分解，是对整个共现矩阵进行分解，这个矩阵中包含着全局的信息。而Word2Vec由于是一个窗口一个窗口（或几个窗口）地进行参数的更新，所以学到的词向量更多的是局部的信息。
总之，二者各有优劣，这启发了斯坦福的一群研究者，GloVe词向量就是在这样的动机下产生的。
GloVe词向量
GloVe是斯坦福团队来2014年提出一个新的词向量，GloVe的全名叫“Global Vectors”，重点在于这个global，即它是直接利用全局的统计信息进行训练的。
理解GloVe词向量，有两种思路：
一种是由Word2Vec的skip-gram算法改进而来（思路较为清晰）； 一种是由词语见的“共现概率比”构造出来（过程较为复杂）。
这里为了简便，「我按照第一种思路来讲解」。
GloVe会用到全局的词语之间共现的统计信息，因此我们需要首先构建「共现矩阵」，我们设：
代表词和词共现的次数 代表词出现的次数 代表词出现在词周围的概率，即共现概率
回到skip-gram算法中，我们是这样构造由中心词预测上下文词的概率的：
其中，v就代表词向量（为了表示简便，这里也就使用一套词向量）。
这样，整体的损失函数可以写为：
这些大家应该很熟悉了，在第一篇笔记的末尾有详细的公式介绍。
实际上，对于上面的损失函数，我们可以有一种更加高效的计算方法，因为会出现次，所以我们不用一个窗口一个窗口慢慢地滑动计算，而是直接把这些重复的项一起计算：
上面可以根据可以进一步变形：
这个公式中的我们仔细定睛一看，就会发现，这就是「交叉熵」嘛！
交叉熵，只是众多损失函数中的一种，而交叉熵损失函数天然有一些缺陷：由于它是处理两个分布，而很多分布都具有「长尾」的性质，这使得基于交叉熵的模型常常会给那些不重要、很少出现的情形给予过高的权重。另外，由于我们需要计算概率，所以「必须进行合理的规范化」（normalization），规范化，就意味着要除以一个「复杂的分母」，像Softmax中，我们需要遍历所有的词汇来计算分母，这样的开销十分巨大。
所以，我们可以考虑使用一个新的损失函数，比如——「平方损失」（least squares）函数，则损失函数就变为：
其中，和其实就是「没有经过规范化」的和。相当于我们把复杂的分母都一起丢掉了。「在平方损失中，我们可以不进行规范化处理」，因为我们处理的是两者之间的差异，使差异最小化，那经不经过规范化，都不影响。但是在交叉熵中就必须进行规范化了，因为我们处理的是概率。
由于的取值范围非常大，这样会不容易优化，所以我们再进行取「对数处理」：
最后，对于那个权重项，其实我们可以更加优化的用一个同时依赖于i，j的函数：来代替，来让我们更精细地调整不同频率的词的损失。GloVe论文中f函数的图像长这样：
这样的函数使得过于高频的词权重不会过高。
「千呼万唤始出来」，我们终于得到了GloVe的损失函数：
（当然，其实还有一点不完整，那就是我们可以在内部再添加一些偏置项，bias term，但是这个不重要了）
GloVe词向量好在哪？
上面详细讲述了GloVe词向量如何通过改进Word2Vec的skip-gram算法得来。最主要的，就是我们把交叉熵损失函数替换成了平方损失函数。这样，就明显可以让我们的计算更简单。
另外，GloVe词向量的训练，是直接面对，即共现矩阵，进行优化的。也就是它是直接朝着全局的统计信息进行训练优化的。这样有什么好处呢？
「a」 更充分的利用统计信息
「b」 充分利用语料中的大量重复信息来简化计算
第二点怎么理解？在Word2Vec中，我们是通过滑动窗口来进行计算的，我们在遍历整个语料的过程中，同样一对<中心词i，上下文词j>可能会出现在多个窗口中，这些计算我们都存在重复，而如果利用统计信息，我们可以只计算一次，然后乘以次数即可。
对于GloVe，模型的计算复杂度依赖于共现矩阵中非零元素的个数，其「上限」为，而skip-gram的复杂度为。其中V是词汇量大小，C是语料库的长度，一般情况下，.
但是，实际的语料中，一般是十分稀疏的，非零元素相比之下是很小的。经过对实际语料的研究，我们发现GloVe的实际复杂度大概为，显然还是小于skip-gram的复杂度的。这也进一步印证了上的第二点好处。
以上。