成功解题四要素：知识结构、思维能力、经验题感、情感态度

罗增儒教授在他的《中学数学解题的理论与实践》中告诉你：

成功解题的四个基本要素：知识结构、思维能力、经验题感、情感态度。

1.知识结构

人的思维依赖于必要的知识和经验，数学知识正是数学解题思维活动的出发点与凭借．丰富的知识并加以优化的结构能为题意的本质理解与思路的迅速寻找创造成功的条件．解题研究的一代宗师波利亚说过：“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”．每一个希望提高解题效率、获得解题成功的人，都必须下决心，花大力气去做到下述3个基本要求：

（1）熟练掌握数学基础知识的体系．

对于中学数学解题来说，应如数家珍说出教材的概念系统、定理系统、符号系统（可参见课程标准）．

（2）深刻理解数学概念、准确掌握数学定理、公式和法则．

（3）熟悉基本的逻辑规则和常用的解题方法，积累不断涌现的数学技巧．

2.思维能力

解题能力，表现于发现问题、分析问题、解决问题的敏税、洞察力与整体把握．其主要成分是3种基本的数学能力（运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力），核心是能否掌握正确的思维方法，包括逻辑思维与非逻辑思维．其基本要求包括：

（1）熟悉基本的逻辑方法．

（2）掌握科学的解题程序．

（3）掌握数学中各种常用的思维方法，如观察、试验、归纳、演绎、类比、猜想、分析、综合、抽象、概括等．

（4）掌握解题的基本策略，能“因题制宜”地选择对口的解题思路，使用有效的解题方法、调动精明的解题技巧．

（5）具有敏锐的直觉．应该明白，我们的数学解题活动是在纵横交错的数学关系中进行的，在这个过程中，我们从一种可能性过渡到另一种可能性时，并非对每一个数学细节都洞察无遗，并非总能借助于“三段论”的桥梁，而是在短时间内朦胧地插上幻想的翅膀、直接飞翔到最近的可能性上，从而达到对某种数学对象的本质领悟．

3.经验题感

解题具有实践性与探索性的特征，基础知识要通过解题实践来消化，思维素质要通过解题实践来优化，解题方法要通过解题实践来强化．在解题实践中，既会有成功又会有失败，这两方面的积累，都能形成有长久保留价值或借鉴作用的经验．

所谓解题经验，就是某些数学知识、某些解题方法与某些条件的有序组合，成功是一种有效的有序组合，失败也向我们从反面提供有效的有序组合．成功经验所获得的有序组合，就好像是建筑上的预制构件（或称为思维组块），遇到合适的场合，可以原封不动地把它用上．解题所做的脑力工作就在于回忆他的经验中用得上的东西，并且和他的解题思维联系起来．

弗里德曼在《怎样学会解数学题》中认为“如果我们着手解答一道习题，那么，第一件事就想知道：这是道什么题？它是什么形式，属于哪种类型？换句话说，就是需要识别给定习题的类型．”这就需要平时积累经验与类型．怎么积累呢？弗里德曼在“致读者”中分析学生解了大量的题但还“不开窍”时指出:“这些学生没有在应有的程度上分析所解的习题，不能从中分析出解题的一般方式和方法，解题常常只是为了得个答案”．这就指出了一个途径：通过解题过程的分析来积累经验与类型．

波利亚也说：“一个好念头的基础是过去的经验和已有的知识．”

解题经验的积累，有利于解题念头的诱发，有助于直觉性题感的形成．题感指的是人们对问题的总体性的感受，它是思维定势正迁移的一种潜在表现，实质是一种数学观念、数学意识，常体现为整体的把握及成功思路的预感、预测和预见．如像学外语的“语感”、学音乐的“乐感”．

4 .情感态度

这里主要是指良好的心理素质，如动机、兴趣、抱负、态度、品德、意志等．这些非智力因素对于解题的作用，与其对于发明发现的作用是一样的．

波利亚也说：“认为解题纯粹是一种智能活动是错误的；决心与情绪所起的作用很重要．”他强调说：“教学生解题是意志的教育．当学生求解那些对他来说并不太容易的题目时，他学会了败而不馁，学会了赞赏微小的进展，学会了等待主要的念头，学会了当主要念头出现后全力以赴．如果学生在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么他的数学教育就在最重要的地方失败了．”