圆锥曲线专题解析3:焦点弦问题
圆锥曲线专题解析3:焦点弦问题
Ø方法导读
圆锥曲线是高考的必考内容,主要命题点有直线与圆锥曲线的位置关系的应用,圆锥曲线中的弦长、弦中点、面积、定点、定值、最值、取值范围、存在性问题,综合性较强.从近三年高考情况来看,多考查直线与椭圆或抛物线的位置关系,常与向量、圆等知识结合,难度较大.解题时,充分利用数形结合思想,转化与化归思想,同时注重数学思想在解题中的指导作用,以及注重对运算能力的培养.在解题过程中常用到点差法、根与系数的关系、设而不求、整体代换等技巧,注意掌握.
如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点,则称此弦为焦点弦.圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率(或倾斜角)、定比分点(向量)、焦半径和焦点弦长等有关知识.焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”,集数学知识、思想方法和解题策略于一体,倍受命题人青睐,在近几年的高考中频频亮相,题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题,也有作为大题进行考查的.
Ø高考真题
【2018·全国I卷理·19】设椭圆
的右焦点为
,过
的直线
与
交于
,
两点,点M的坐标为
.
(1)当
与
轴垂直时,求直线
的方程;
(2)设
为坐标原点,证明:
.
Ø解题策略
【过程分析】
第一问,先求出椭圆
的右焦点
的坐标,由于
与
轴垂直,所以可求出直线
的方程,从而求出点
的坐标,再利用直线方程的两点式,即可求出直线
的方程;第二问,对直线
分三类讨论:当直线
与
轴重合时,直接求出
.当直线
与
轴垂直时,可直接证得
.当直线
与
轴不重合也不垂直时,设
的方程为
,
,
,利用斜率公式表示出
,把直线
的方程代入椭圆
的方程,消去
转化为关于X的一元二次方程,利用根与系数的关系即可证明
,从而证得
.
【深入探究】
破解此类解析几何题的关键,一是“图形”引路,一般需画出大致图形,把已知条件翻译到图形中,利用直线方程的点斜式或两点式,即可快速表示出方程;二是“转化”桥梁,即会把要证的两角相等,根据图形的特征,转化为斜率之间的关系,再把直线与椭圆的方程联立,利用根与系数的关系,以及斜率公式即可证得结论.
Ø解题过程
(1)由已知得
,
的方程为
.
由已知可得,点
的坐标为
或
,
所以
的方程为
或
.
(2)当
与
轴重合时,
.
当
与
轴垂直时,
为
的垂直平分线,所以
.
当
与
轴不重合也不垂直时,设
的方程为
,
,
,
则
,
,直线
,
的斜率之和为
.
由
,
得
.
将
代入
得
.
所以
,
,
则
.
从而
,故
,
的倾斜角互补,所以
.
综上,
.
Ø解题分析
本题考查椭圆的标准方程及其简单性质、焦点弦斜率问题,考查考生的推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.
对比2015年全国I卷理科数学第20题:
在直角坐标系
中,曲线
与直线
交于
,
两点.
(1)当
时,分别求
在点
和
处的切线方程;
(2)
轴上是否存在点
,使得当
变动时,总有
?说明理由.
2018年的全国I卷的第19题只是把2015年全国I卷的第20题的“抛物线”变为“椭圆”,仍然考查直线与圆锥曲线有两个交点的位置关系,都是“求方程”与“相交弦的斜率”问题,只是去掉了原来的是否存在型的外包装.在强调命题改革的今天,通过改编、创新等手段来赋予高考典型试题新的生命,这成为高考命题的一种新走向,所以我们在复习备考的过程中要注意对高考真题的训练,把握其实质,掌握其规律,规范其步骤,做到“胸中有高考真题”,那么我们就能做到以不变应万变.
Ø拓展推广
1.圆锥曲线过焦点的所有弦中最短的弦
过焦点且与对称轴垂直的弦称为通径.
(1)椭圆
过焦点的最短弦为通径,长为
.
(2)双曲线
过焦点的最短弦为通径或实轴长,长为
或
.
注意:对于焦点在
轴上的椭圆、双曲线,上述结论仍然成立.
(3)抛物线
过焦点的最短弦为通径,长为
.
注意:对于焦点在
轴负半轴上,焦点在
轴上的抛物线,上述结论仍然成立.
2.圆锥曲线的焦半径公式
圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径,利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式.
(1)椭圆的焦半径公式
①若
为椭圆
上任意一点,点
,
分别为椭圆的左右焦点,则
,
.
②若
为椭圆
上任意一点,点
,
分别为椭圆的上下焦点,则
,
.
(2)双曲线的焦半径公式
①若
为双曲线
上任意一点,点
,
分别为双曲线的左右焦点,
当点
在双曲线的左支上时,则
,
;
当点
在双曲线的右支上时,则
,
.
①若
为双曲线
上任意一点,点
,
分别为双曲线的上下焦点,
当点
在双曲线的下支上时,则
,
;
当点
在双曲线的上支上时,则
,
.
(3)抛物线的焦半径公式
①若
为抛物线
上任意一点,则
;
②若
为抛物线
上任意一点,则
;
③若
为抛物线
上任意一点,则
;
④若
为抛物线
上任意一点,则
.
3.圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为定值
(1)椭圆
的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数,
(其中
).
(2)双曲线
的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数,
当焦点弦的两个端点
,
在同支时,
;
当
,
在异支时,
(其中
).
注意:对于焦点在
轴上的椭圆、双曲线,上述结论仍然成立.
(3)抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数
(其中
).
涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.另外熟记圆锥曲线焦点弦的一些重要结论,可以快速求解与焦点弦有关的最值或范围问题.
变式训练1
如图,椭圆
的右焦点为
,过点
的直线
与椭圆
交于
、
两点,直线
与
轴相交于点
,点
在直线
上,且满足
轴.
(1)当直线
与
轴垂直时,求直线
的方程;
(2)证明:直线AM经过线段
的中点.
变式训练2
已知抛物线
的焦点
与椭圆
的右焦点重合,抛物线
的动弦
过点
,过点
且垂直于弦
的直线交抛物线的准线于点
.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)求
的最小值.
变式训练3
设抛物线
的焦点为
,过
且斜率为
(
)的直线
与
交于
两点,
.
(1)求
的方程;
(2)求过点
且与
的准线相切的圆的方程.
变式训练4
已知抛物线
的焦点为
,过
的直线交抛物线于
,
两点.
(1)若以
,
为直径的圆的方程为
,求抛物线
的标准方程;
(2)过
,
分别作抛物线的切线
,
,证明:
,
的交点在定直线上.
变式训练5
抛物线
的焦点为
,
是
上一点,且
.
(1)求
的方程;
(2)过点
的直线与抛物线
相交于
,
两点,分别过点
,
两点作抛物线
的切线
,
,两条切线相交于点
,点
关于直线
的对称点
,判断四边形
是否存在外接圆,如果存在,求出外接圆面积的最小值;如果不存在,请说明理由.