泊松分布：为什么保险公司的客户群都很大？
我们上一讲解释了随机事件的发生概率在理论和现实中的差距，用到的是伯努利试验。
今天我们从另一类特殊的伯努利试验说起，进一步完善你对随机性的认识，特别是对风险防范的认识。
在这一类伯努利试验里，随机事件A发生的概率通常很小，但是试验的次数n很大，比如发生车祸的情况便是如此，这种分布被称为泊松分布。当然，为了比较容易说明问题，我们用一个不算太小的概率，这样比较好理解。
什么是泊松分布？
假如说公司门口有10个停车位，公司有100个上班的员工，每个员工早上8点钟之前开车来上班的概率是10%。当然，正如我们昨天所说，他们每天什么时候来公司不仅是随机的，而且彼此无关，不存在两个人商量之后一起到的情况，而且也不存在头一天来晚了没抢到停车位，第二天早到的可能性。
现在，你是这家公司的新员工，早上8点整开车到了公司，请问停车场还有车位的概率是多大？我们知道，如果当时停车场里汽车的数量小于9辆或者等于9辆，那么你就有车位可以使用，因此我们就要计算出这个概率，它可以直接用泊松分布来计算。
泊松分布是这样定义的：如果随机事件A发生的概率是p，进行n次独立的试验，恰巧发生了k次，则相应的概率可以用这样一个公式来计算：
在这个公式中，是试验次数n乘以每次试验出现情况的可能性p的乘积，即n*p。在上述停车场的例子中，等于10，因为员工的数量100乘以概率10%得到10。至于泊松分布的这个公式是怎么来的，大家不用太操心，我们用一些例子来说明它的性质，大家记住一些结论就好。
我们先来算算在上面例子中，我们能够抢到车位的概率。在我用这个公式揭晓答案之前，大家不妨思考一下，至少猜一下这个概率大概是多少。
这个问题我问过一些不了解泊松分布的人，他们给我的答案通常有两种，一种是10%左右，一种是90%左右。他们给出的答案对不对，我们先按照公式算一算，就能判别了。
首先我们用上面的公式，计算一下k小于或等于9的概率。我们需要把k=0，1，2……9全部代进那个公式中，一个个计算。非常遗憾，没有更好的方法。我把k等于0到10的情况计算出来，放到了下面的表格中：
从这个表格中你可以看出，概率是随着k的增加而逐渐增加的。也就是说，8点以前，停车场有1辆车的概率比没有车大，有两辆车的概率比有1辆车大。但是在k=9和10这两个点，概率达到峰值，如果k再增加，超过时，概率其实要往下走。这种现象对任何都是成立的。
由于表格画得太大，大家不方便查看，我就用曲线把k一直到20的情况画了出来，上面例子中的情况，对应于下图中平缓的灰色曲线。
算完了k等于不同值的概率，我们就把表格中k=从0到9的各个概率加起来，就得到k小于等于9的总概率，我们称之为累积概率，放在了第三行。在这个问题中，它是0.46左右，也就是说你有将近一半的可能性能够获得车位。从表格的第三行累积概率的变化你可以看出，它一开始增长很慢，在k接近时就增长较快，再往后其实增长也很慢。
对于0.46这样的一个概率，其实很少有人能猜到。前面说的那些回答10%的人是这样想的：既然有10个车位，有100个员工，大家也是根据10%的概率去占车位，因此8点左右应该把车位正好填满，我8点到，估计只能占到最后一个位子，也就是说占到了停车场最后的10%，因此概率是10%。
而认为可能性是90%的人是这样想的：100个员工的10%就是10，因此8点到的人应该是人人有车位，我现在掐着点到了，应该有九成的把握拿到一个车位。这两种想法都来自直觉，它们和真实情况相去甚远。很多人投资总是失败，判定一件事发生的可能性总是有很大的误差，一个重要的原因就是靠直觉和有严重漏洞的逻辑，而不是靠严密的数学逻辑和推导。
接下来，我们再从这个例子出发，看看公司员工数量是不同数值时的情况，这样你对泊松分布就有感性的认识了。
员工减少了，你成功停车的概率会提高吗？
我们假设公司的人数降到了40人（除你之外），每个人8点钟之前开车到公司的可能性依然是10%，但是公司的车位也减少到四个车位，请问你找到停车位的可能性是一样大吗？
虽然从感觉上讲，8点整点时候到了4辆车的情况和前一种情况下有10辆车到达的可能性差不多，但是这时你找到车位的概率只剩下40%左右了，比之前降低了。如果公司再缩减到10个人，只有一个车位，这时你八点到公司，能得到车位的可能性只有1/3左右。
相反，如果公司扩大到200人，有20个车位，其它情况不变，你得到车位的可能性会增加到50%左右。也就是说，如果我们的“池子”变大，随机事件出现的概率不变，那么得到车位的可能性会增加，但是50%是一个上限。如果想保证8点到的员工能有车位怎么办呢？那就需要增加一点余量了，也就是多准备几个车位。
在最开始的例子中，即公司有100个人的情况，如果准备13个车位，就能保证8点到公司时，大约有85%的可能性可以获得车位。你可以把这30%看成是冗余，它增加的数量并不是很多，但是却能解决大问题。
应对随机性，需要的冗余比你想的要大
在现实中，电话公司通常要多准备一些线路，以免大家打电话时总是占线。根据前面的分析我们可以得知，如果电话公司准备的线路数量正好是，也就是打电话人数的平均值，那么有一半的时间大家在打电话时会遇到占线的情况，这个比例是非常高的，这时你肯定抱怨不止。
但是如果电话公司多准备了20%的线路容量，占线的概率可能就会下降到1/4甚至更低，如果多准备50%的线路，占线的概率就会占到5%以下。事实上，电话公司为了应付节假日或者其它高峰情况，通常都要准备好几倍的线路容量。
因此，我们今天的第一个结论就是，由于随机性的作用，我们在准备资源时，达到平均值还是不够的，需要准备一些冗余量。
池子越大，越能抵消随机性带来的误差
接下来我们谈谈今天的第二个结论：池子越大，越能抵消随机性带来的误差。
这个原理其实就是大家购买保险的数学基础。一般来讲，我们出事的概率并不高，但是一旦出事可能损失很大，因此每一个人放一点钱到池子中，谁不幸出了事情，就由保险公司理赔，但是每个人放多少钱在保险公司的池子里，就有讲究了。
比如每一次理赔的金额是10000元，每年出事的概率是10%，有200人投保。从理论上讲，平均每个人收理赔金额的10%，也就是1000元即可，这样一年可以赔偿20人（次）。
但是根据前面的分析我们知道，由于出事是随机的，总是存在超过20个人出事的可能性。如果这一年你非常不幸，等你申请赔偿时，前面已经赔过了20人，你就得不到赔偿了。事实上如果按照上述方式设计保险产品，你即使投保了，能够获得赔偿的可能性只有一半左右。如果保险公司这么办，恐怕就没有人有投保的意愿了。
那么怎么办呢？我们前面讲了，就是每个人多交点保费，比如每个人交1500元，这样你获得赔偿的可能性就增加到98%了。但是这样一来很多人就会觉得不合算，因为他们觉得自己多交了50%，于是就选择不买保险。
为了解决这个问题，保险公司就必须把池子搞得更大。比如我们把投保的人数增加到2000人，这样只要稍微多交15%的钱，即1150元，就能保证98%的情况获得赔偿。当池子特别大时，每个人只要比1000元多交一点点就可以了。这样，大家就有投保的意愿。
从这个例子我们可以看出，在管理水平和效率相当的情况下，保险这个行业是池子越大风险越小。因此，对于个人来讲，应该优先考虑找那些大保险公司投保。很多人觉得小公司服务好，而且承诺同样的赔偿，于是使用小保险公司，但事实上真的遇到需要索赔时，很多小保险公司是赔不出来的。
此外，根据我们前面计算的结果，即使大保险公司也有很小的可能性赔不出来，那么怎么办呢？显然不可能把池子做到无限大。于是在保险行业，就出现了再保险或者保险公司之间互相保险的情况。
这其实就是许多保险公司们联合，把几个已经很大的池子，合并成一个超级规模的池子。这样，除非遇到2008年金融危机这样的情况，否则不会出现支付不起赔偿金的情况。
要点总结：
通过介绍泊松分布，大家应该体会到随机性和我们想象的可能不一样，为了预防不测，需要留有一些冗余。
在防范不经常发生的小概率事件时，大家不妨联合起来，把应付不测的资源放到一起。