新高考新设计——《含参数的二次曲线方程》 - 拷贝

    新高考带来新挑战，如果说一轮复习是帮助学生构建起考查内容之间的逻辑框架体系，那么二轮复习就需要帮助学生聚焦问题解决能力的形成，要在课堂中教会学生研究问题的方法掌握数学对象的研究的思维方式。近期虽然较忙，但是为了让老师们更好地做好二轮复习，我亲自到学校做了探索，上了两堂课，这是其中一节，现在拿出来供大家参考，由于这节课没有录像，就将学校教师的听课感想呈现出来，展示当时的一些做法和思考。也希望更多的老师积极提供二轮复习设计，共同提高！

 

1

教学课件

2

学案

3

教学设计

【教材】旧教材人教A版选修2-1第二章圆锥曲线与方程

【教学对象】高三年级学生

一、内容和内容分析

（一）教材分析

解析几何中，圆、椭圆、双曲线都是有心二次曲线.含参数的二次曲线方程，尤以中心在原点的有心二次曲线为经典，其方程可以用二次齐次方程

统一表示.本节课学习的内容是含参数的二次曲线方程，通过利用方程的运算性质转化方程，将方程标准化，实现方程与曲线的对应关系，进一步研究曲线的性质或者几何关系.

解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想.用代数的方法研究圆锥曲线的性质，实质上是将对复杂的几何关系的考查转化为对曲线方程特点的考查，因为代数方法有可以程序化地进行运算、操作的特点，可以使研究过程更有规律可循.因此，利用方程研究曲线的性质是解析几何的主要内容.圆锥曲线的几何性质的研究是通过它们的方程展开，这体现了解析几何通过代数方法研究几何图形性质的特点，也就是坐标法.这一思想应该贯穿于整个解析几何教学当中.因此，对于含参数的二次曲线方程，如何利用方程的性质对方程进行运算、变形，使其结构形式与有心二次曲线的方程的标准形式对应，是问题解决的先决条件.

（二）高考分析

纵观往年的高考题，含参数的二次曲线方程注重对圆、椭圆、双曲线的基本概念、标准方程、简单的几何性质及其几何关系的考查，突出的是能根据曲线的类型或者局部的几何特征将曲线方程标准化，进而研究曲线简单的几何性质或求解参数的取值范围，属于基础性要求.随着高考的改革，为了更加精准地发挥数学科考试的区分选拔功能，2020年山东新高考数学引入多选题，并在第9题中全面考查直线与圆锥曲线的基本概念及其性质特征，旨在全方位了解学生如何运用方程的性质将方程标准化，实现方程与曲线的对应.问题解决强调了应对解析几何与圆锥曲线的知识结构有较为全面和系统的认识；方程的变形运算也突出了对考生运算求解能力的考查.

事实上，二次齐次方程

包含四种曲线，即圆、椭圆、双曲线、两条直线.而各种曲线又可以研究其对应的简单的几何性质或几何关系，因此，含参的二次曲线方程，非常适合作为设计多选题的素材，其考查内容丰富，容量大，有利于突出对知识系统的是否完善、数形结合的数学思想、运算求解能力的考查，突出综合性，也有利于对学生进行多层次区分，达到选拔的目的.

二、学情和教学问题诊断

根据教学进度的安排，学生已经完成了平面解析几何及圆锥曲线相关知识的一轮复习，因此学生具有本节课的知识基础和学习能力.由于一轮复习所涉及的二次曲线方程的基本量更多为常量，对于含参数的二次曲线方程，由于引进了参数，学生对于方程的形式会有所畏惧.实际上，解决含参数的二次曲线方程问题，本质上还是利用方程的性质将方程进行运算变形，考查的依旧是学生的运算能力，而运算是数学素养的重要方面.因此，对于学生来说最核心的难点是：运算求解能力欠缺，不知道怎么将方程变形，以及不会进行简单几何性质或几何关系的求解判断.具体体现在：

（1）不能熟练地根据题目呈现的曲线的类型、局部几何特征或参数的取值范围对含参的二次方程进行标准化变形；

（2）不能根据含参的标准化的方程对求解或判断其简单的几何性质以及几何关系.

三、教学目标分析

基于上述分析，确定本节课的教学目标如下：

（1）明确含参数的二次曲线方程研究的本质，提升问题解决的信心；

（2）能对含参数的二次曲线方程进行适当的运算与变形，并求解其对应的曲线的简单几何性质或者参数取值范围；

（3）能用统一的眼光看待含参数的二次齐次方程；

重点：明确含参数的二次曲线方程研究的本质

难点：含参数的二次曲线方程的运算与变形

四、教学过程分析

（一）教学流程设计

（二）教学过程设计

4

听课心得

听课感想

肖科

很幸运再次聆听彭主任的现场授课，受益良多。本次课的课题是二轮中《含参数的二次曲线方程》，授课的对象是佛山四中高三重点班5,6,7班的学生，整堂课听下来，有几点感受如下：

（一）选题立意精准

根据教学进度，学生已经完成了平面解析几何及圆锥曲线相关知识的一轮复习，因而具有本节课的知识基础和学习能力。由于一轮复习所涉及的二次曲线方程的基本量多为常量，对于含参数的二次曲线方程，由于引进了参数，学生对于方程的形式会有所畏惧，且有相当一部分学生不能熟练地根据题目呈现的曲线类型、局部几何特征对含参数的二次方程进行标准化变形。对学生来说最核心的难点是运算能力欠缺。故选此课题，体现了靶向思维，直击学生症结，抓住了牛鼻子。

（二）主题鲜明，重点突出

在进入正式学案之前，彭主任花了近十分钟时间，逐层铺垫，搭脚手架，使学生明白和理解“标准化”的含义，使学生看到解决问题的本质。一开始听来，觉得这样会不会挤占后面内容的时间？其实想来，这是磨刀不误砍柴工，当学生体会到二次曲线标准化的内涵与价值时，就为应对后面所呈现的各式各样的含参二次曲线扫清了障碍。彭主任在此环节极富耐心，足见其设计的高度与远见。在课前小练与例题赏析环节，通过回归教材，依托高考真题（全国卷），使学生明晰高考考查方向，通过设置高质量问题串，引导学生如何根据已有的曲线知识结构，对方程进行标准化变形。整堂课就是解决一个问题：“标准化”。内容与思想高度聚焦，同时让学生体会高考真题的根源于教材，充分锻炼了学生运算求解能力。正因为聚焦，真正实现了问题解决，成就了高效课堂。

（三）教学生动风趣，回味深长

在彭主任的课堂，虽有回答问题的压力，但此过程也是一番享受。整个课堂总是从学生站位，以学生为中心来解决问题，彭主任在提问的同时会兼顾其他同学，通过不断地复述、转述关注到更多的同学。同时彭主任语言精练，风趣，能以学生喜闻乐见，新潮的语言与学生沟通，课堂气氛欢快且舒服，这正是我们所追求的数学课堂。

希望在接下来的二轮备考中，备课组能更多的通过微专题进行学案教学，更多地聚焦问题解决，更多的在课堂中，带着学生学会思考，循环思考，使学生不断积累解决问题的经验。

听课感想

刘颖珠

在我读书时就频繁被教导，课堂站位要“以学生为中心”，一切课堂活动设计都要从学生知识的最近发展区开始，工作之后也一直接收到同样的要求。在教学实践中，虽然偶尔也会实践一把，但是总会被带节奏，越走越偏离：课上一味填鸭，自己“嚼碎”了再喂给学生，久而久之，学生就成了“只管开口，等待投喂的雏鸟”，而且彼此都甘之如饴，好像没有什么问题。但是听了一节彭主任的示范课之后，学生暴露出来的问题，示范课上呈现出来思维的碰撞和提升，老师对学生思维和精神上的引领，让我明白，为什么我们整天要做重复的事情，但学生还是“一听都会，一做都不对”。

本节课的课题为《含参数的二次曲线方程》，课堂从两个问题开始：1.方程标准化的含义是什么？2.关于圆锥曲线的几何性质有哪些？你是如何研究的？一开始，第一个问题，学生没有头绪，于是老师又换了一种问法：你学过哪些标准方程？从这些标准方程中你能看到什么？这两个问题的回答，学生都没有表现的很好。在这个互动环节学生所呈现出来的问题，就是我们教学中的欠缺，一方面，我们老师和学生都习惯于归纳题型与方法，缺乏更高一级的学习过程即抽象化的能力的培养，所以学生不能形成方法的系统化；另一方面，知识的网络化也是老师教学中需要重视的着力点，一轮没有落实的东西，二轮要补上。接下来处理第一个题组，题组的构成是把高考题和教材上的题目揉在一起，突出参数对曲线几何性质的影响。整个过程在与学生的互动中完成，老师从学生不成熟的发言逐步引导，形成一个程序化的思维：首先进行方程标准化，接下来基于标准方程去获取曲线的几何性质和构成要素，最后把题目条件对应到方程特征。这个程序化的步骤也是由学生总结出来的！在学生已经获得了研究方法之后，开始自主完成对一个含参二次方程的讨论，这个环节设计成了表格的形式，帮助学生更加清晰的梳理思路。学生在这一轮的表现有了非常大的进步。

在学生的表现来看，从无从开口到清晰完整的输出观点，中间经历了什么呢？是老师对学生思维递进式的引领，学生在学习过程中获得了研究问题的方法，这节课完美诠释了“授人以鱼不如授人以渔”的道理。这个过程要舍得花时间，要相信学生，不吝啬鼓励表扬。一方面，我们日常错解了教师的使命，教会学生解题不是目的，会解决问题才是能力；另一方面，我们习惯于“填鸭”事实上是一种懒惰，不愿意研究。要对学生的思维进行有效的点拨，老师必须能够站在一定的高度，这应该是优秀教师与平庸教师最大的区别。我们必须跳出题海，勤于思考总结，从“有手就行”到“用脑子”才行。以学生为中心，口号喊得很响，实现起来这么难，就是这个原因了。

第二天出现了一个让我吃惊一个现象，我早上6点30分进入课室，马上就有学生来问数学问题，接着又有好几个，一直解答到7点早读开始，这是高三以来从来没有发生过的事情。而且早上的早读声音异常有力量。反思原因，我想，一方面，这节课让学生学会学习，他们产生了自己学习的意识，就会发现问题；另一方面，应该是从老师那里获得了一种精神的引领吧。新课改倡导“德智体美劳”五育并举，有人说不接地气，无法进行量化。事实证明，对品质的培养可以转化为学习驱动和能力，从而转化为分数，而且不止是分数。“把学校教给你的知识都忘掉，剩下的就是教育”，这是心理学家斯金纳的观点，也是我们教师反省教育的一个切入口。

站稳讲台 力求创新

朱俊鸿

有幸再次听到了彭主任的课，从中获益良多，下面谈谈自己从中的一些收获。先从整节课印象最深刻的几个瞬间谈起

瞬间一

还记得彭主任一上来便抛出了几个问题，第一个问题是：你记得你学过哪些标准方程？请举例说明。当时一个学生站起来就回答了ax+by+c=0，虽然我没有教这个学生，但是作为四中数学教师队伍中的一员，我听到这个答案不禁也倒吸了一口凉气。其实我们平时也会对学生进行提问，我上课时也喜欢针对题目提出各种各样的问题，这些问题主要是该知识点容易忽略和错漏的地方。我们备课组老师事后讨论，明明我们平时常常都把“椭圆的标准方式是”“双曲线的标准方程是”挂在嘴边，为什么这个学生会回答出这样的答案？除了有见到了大咖紧张的原因以外，更重要的原因是我们平时不会这样问问题！

什么是有效的问题，有深度的问题？这是这堂课引起我思考的第一个大点，问题驱动的教学方式早在我们学校展开，我平时也会落实，但刚才我也提到，我平时喜欢提的是针对知识点学生容易忽略与错漏的地方，这些问题固然是必要的，但是这些问题往往是零散的、记忆性质的问题，缺乏高度，缺乏连贯性。像“什么是标准方程”“为什么他是标准方程”这种知其然，何以知其所以然的问题，我是极其缺乏的，究其原因，一个是自身专业素养尚需提高，另外，平时对于问题的设置，及时的追问还需进一步打磨，问出更高质量的问题。

瞬间二

有一位同学回答问题之后，彭主任问同学们是否明白了，有一名女生大喊“明白”，彭主任及时追问这位女生“明白了什么”，这位女生就畏畏缩缩地给出了“不敢明白”的回答，在引起哄堂大笑的同时，其实我早就猜到了她会是这样的答案，因为其实连我都没听不明白上一个同学回答的思路，她又怎会明白？这就是彭主任在后来提到的需要“站在学生中”在本节课中的一种示范，在聆听回答者的时候，也必须不能忽略掉其他同学。

对于这个问题，我平时在课堂会采取另一种方式落实，在课堂上，当你问是否明白的时候，总会有积极的同学大声给予你“明白”的回答，当然，这个我早就知道是不可靠的，于是我常常会采取“明白的同学举手”的方法来统计，不过总是会看到有那么几只小手没有举起来，我总会补充一句“下课来问我”，却也总没有了下文。这节课过后，我也重新思考了这个问题，也许上课时，就应该对没有举手的同学进行提问，让他们讲出自己的问题，我来及时进行释疑，因为也许，在举手的同学中，也有“不敢不明白”的滥竽充数，而勇于不举手的同学，反映的才是真实情况，这样，才能做到真正“站在学生中”。

瞬间三

最后谈谈彭主任课后与我们老师交流的一些看法，我印象比较深刻的就是“打破套路化，做到真正的解决问题，不仅仅是要会解题”，其实这个也是我在八省联考之后变得特别疑惑的一个问题，你说八省联考的题目不是套路吗？其实你把它拆解完，或者是卸去一层伪装之后，大部分还是我们平时讲的所谓“套路”，但我们的学生就是看不出来。但若是对于我们这个层次的学生，我们平时不讲套路，少讲解题方法，常谈数学思维，他们是否能接受？我觉得不仅在时间上不允许，因为课时的紧迫现在也摆在面前，而且也许效果也会不甚理想。那么应该怎么做，我现在还没有形成一个系统的想法，但是总的来说，在下一阶段的课堂当中，我在讲解解题方法的同时，也会加强对于学生思维的锻炼，多对题干条件进行“伪装”，多挖掘本质的数学问题，出试卷时打破常规，暂时先从这些地方做起，然后思考，如何在“套路”与“思维”中取得一个比较好的平衡点。