与三角形相关的“五心”——1.7周测部分习题解析

本周周测部分习题考察了三角形的外心和内心，一些同学在概念上出现了问题。下面对与三角形相关的“五心”——重心、垂心、内心、旁心、外心，的概念及相关性质进行简要的归纳，对部分周测试题给予一定的解析。

1、重心——三角形三条中线的交点

重心定理：三角形的重心把三角形的中线分为1:2的两部分（同学们可自行证明）

2、垂心——三角形三条高所在的直线的交点

注：①三角形的高是线段，不一定相交，故而垂心是三角形三条高所在直线的交点。锐角三角形的垂心在三角形内部，直角三角形的垂心是直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外部。②上图给出了垂心的另一种定义方式，即三角形三个垂足构成的三角形内切圆的圆心，有兴趣的同学可以研究下。

3、内心——三角形内角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）

三角形的内心到三角形三边的距离相等。

4、旁心——三角形两外角平分线的交点

注：①三角形的旁心有三个，到三角形三边的距离都相等；②三角形的旁心同时也在剩余的三角形内角的角平分线上；③如上图所示，与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心也就是三角形的旁心。

5、外心——三角形三边垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）

三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。

特别地，正三角形（等边三角形）的四心（重心、垂心、内心、外心）共点（同一个点），五心共线（与旁心在同一条直线上），我们称共点的四心为其中心。中心的概念仅在正多边形中提起。

复习完三角形的“五心”，我们来看这周周测的两道小题。明确了概念其实很容易求解。

7、△ABC的外心为O，∠BOC=80°，则∠BAC=（     ）

A、40°               B、100°

C、40°或140°     D、40°或100°

分析：既然涉及到外心，就与三角形的外接圆结合起来，运用圆周角定理。此题由于点A位置的不确定性，其实就是解决一条弦所对的圆周角的问题，度数上有两个，且为互补的关系，如图。答案选C

8、I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BI、BD、DC，下列说法中错误的一项是（    ）

A、线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合

B、线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合

C、∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合

D、线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合

分析：选D。本题涉及到内心，同学们做题时易将点I看做△ABC外接圆的圆心（外心），这是不对的，这是概念不清的表现。事实上，本题中我们可以证明DB=DI=DC，并进一步，点B、I、C在以D为圆心的圆上。这个命题的证明，依赖于内心的运用。由于点I是△ABC的内心，故而∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI。BD=CD易证（由∠BCD=∠CBD，或取圆心连半径，根据圆心角定理由圆心角相等得），关键是证明DB=DI。这里我们充分运用外角，∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBD+∠CBI，而∠ABI=∠CBI、∠BAD=∠CBD，故而得证DB=DI，进而可以推出点B、I、C在以D为圆心的圆上，且半径为DB。

希望同学们在学习时一定要学会总结，理清概念，概念是解决问题的基石。