一个经典几何图形的结论总结

本周数学培优给学生们出了一道经典的老题，一般同学们碰到这个图形的题都只是其中的几问，下面对此图形的结论做了简单归纳，以求帮助同学们总结。

题目：如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ、OC

以下结论：

①AD=BE；

②PQ//AE；

③AP=BQ；

④DE=DP；

⑤∠AOB=60°；

⑥PQ²=PO·QE；

⑦当点C运动到AE中点处时，PQ的长最大；

⑧当点C运动到AE中点处时，S_△BPQ：S_△CDE=1:4；

⑨OC平分∠AOE。

其中成立的结论有                     。（填序号）

分析：答案为①②③⑤⑥⑦⑧⑨（④不正确）。

本题最基本的结论涉及三组全等三角形，△ACD≌△BCE，△ACP≌△BCQ，△DPC≌△EQC，由此得到相等的边及角，其中60°的角有很多，容易推得△PCQ为等边三角形，其中①②③⑤⑧容易得到，④错在DP=QE，DE>DP.下面对于⑥⑦⑨三个结论作简要说明。

对于⑥，用的是相似，可证△POQ∽△PQD，则PQ²=PO·PD，而PD=QE，即得；

对于⑨，由于△ACD≌△BCE，则其面积也相等，过C向AD、BE作垂线段，则由于面积相等、底相等。故而可得高相等，从而由角平分线的判定即得；

重点是⑦，很多同学都觉得它是正确的，但也就仅仅停留在觉得正确，无法给予证明。下面对它的证明给出我的思路，以供参考：

易得PQ/AC=CP/CB=（CB-BP）/CB=1-BP/CB，而PQ/CE=BP/BC，故而可得PQ/AC=1-PQ/CE。这个转化很重要，把两组图形相似联系了起来。

我们设AE=a（常数），AC=x，PQ=y，则y/x=1-y/(a-x)，进而得到y与x的函数关系求解。变形后同学们会发现，y是x的二次函数，当x=a/2时y取最大值a/4.