股票、债券和因果关系
2019年10月11日 来源：XYQUANT
导读
1、作为西学东渐—海外文献推荐系列报告第四十五篇，本文推荐了Jamil Baz, Steve Sapra, German Ramirez 于 2019年发表的论文《Stocks, Bonds, and Causality》。
2、股票与国债的回报之间的关系一直是投资者们关注的议题，由于美国股市与国债市场长期呈负相关性，投资者们常常将美国国债视为可靠的避险资产和减少投资组合波动率的有效对冲工具。
3、本文探究了美国股市与国债市场有如此相关性的成因。文章一开始先展示与分析了历史数据，再用历史数据校正了一个误差修正模型（VECM），并使用模型结果从股市与债券市场的震荡，股市的估值等角度探究其对股票-债券市场相关性的影响。文章发现，当股市首先发生震荡时，股票-债券市场会呈现出负相关性。当债券市场率先发生震荡时，股票-债券市场会呈现出正相关性。当股票市场估值偏离长期平均过高或过低时，市场估值对相关性的影响会占主导地位。
4、本文结果表明，当前股市的估值会对一段时间后的股票-债券市场的相关性起到决定性作用，投资者在考虑未来股票债券相关性的问题时，必须考虑到当前股票市场的估值。
风险提示：文献中的结果均由相应作者通过历史数据统计、建模和测算完成， 在政策、市场环境发生变化时模型存在失效的风险。
股票和政府债券之间的关系似乎是投资者们时常关心的议题。美国国债已经被视为一种避险资产，它在经济不稳定时期能够给投资者们提供稳定的收益，而作为一个对冲工具，它也常常能有效对冲那些由股票风险主导的投资组合。事实上，政府债券在过去60年间几乎所有的经济衰退时期表现都很好。此外，自20世纪90年代末以来股票和债券之间的统计相关性就一直为负，这导致投资者们不仅将美国国债视为一种在经济困难时期的安全资产，也被看作是一种能在几乎所有市场中可靠的减少投资组合波动率的资产类别。
在这篇文章中，我们沿着以下几个方面来讨论股票和债券之间的关系。首先，我们通过历史数据来分析这两种资产类别的相关性在各个历史时期，特别是经济萧条时期是如何随时间变化的；其次，我们建立一个计量经济学模型来探究股票和债券收益率之间短期和长期的动态关系。值得强调的是，我们的模型允许市场估值对最终结果产生重要影响，这与现实情况相符。最后，我们展示一些历史上股票和债券收益率大幅波动的事件，并且利用我们的计量经济学模型对这些现象作解释。
我们发现，虽然股票和债券收益率的相关性已经随着时间的推移而发生了变化，但债券却一直表现出一种反经济周期的状况，自1952年以来所有的美国经济衰退时期，债券都有正的收益。无论在衰退期间股票和债券之间的历史相关系数是正是负，情况都是如此。其次，我们的结果表明，股票和债券之间的相关系数究竟是正是负，在很大程度上取决于行情的震荡来源于股市还是债券市场。股市的震荡和安全投资转移(FTQ)效应成负相关性，但债券市场的震荡通常会使得债券-股票市场呈现出正相关性，这个结论与 Ilmanen(2003) 的研究结论是一致的。通过我们的研究表明，市场估值的高低会对这两种资产类别的相关性产生关键的作用。当市场估值很高或者很低时，估值所带来的影响会主导股票-债券市场的变化。因此，投资者们如果想预测未来市场股票与债券的关系，就需要考虑当前的市场估值。
我们可以看到，股票和债券收益率之间的统计相关性随着时间的推移发生了变化。图表1展示了1958年至2017年美国股票回报与名义债券回报之间的五年滚动相关性。尽管今天的投资者们已经习惯了股票和债券之间的负相关，但漫长的历史告诉我们一个不同的故事：虽然自2000年以来的平均相关系数为-0.27，但完整样本的历史平均值为0.11。此外，从1964年12月至2001年10月之间，每一个五年的滚动相关系数都为正，平均值为0.33。根据美国国家经济局(NBER)的研究结果(图表1中所指出的经济衰退时期相关规律)来看，股票与债券的这种相关性并没有呈现出与经济不景气时期的关联。事实上，在经济衰退期间，平均五年的股票债券相关性(+0.15)高于非衰退时期(+0.10)。此外，即便我们只在经济衰退时间段内计算相关系数，我们得到的计算结果是0.2。所以无论计算方法如何，我们都可以得出股票和债券在经济衰退时期是正相关的结论。正如 Johnson et al.(2013) 与图表1中所描述的那样，在20世纪90年代末，股票-债券的相关性发生了由正到负的结构性转变并且基本上保持在了负相关的水平。Asness(2000) 的研究表明，股票波动率和债券波动率之间的差异可以解释股票收益率水平相对于债券收益率水平的差异。我们在股票-债券的相关性上发现了一个类似的关系。图表2展示了相关系数（蓝线，左侧）对比于5年股票与债券的实际波动率之差（红线，右侧—倒尺比例）。事实上，本世纪初的股票-债券相关系数的大幅下降正好对应于股票波动率相对于债券波动率的大幅增加（红线的下降意味着股票的波动率相对于债券的波动率的上升）。相反的，在20世纪70年代至80年代之间，债券的波动率相对较高，股票和债券也相对应的呈现出正相关。通常说来，相较于利率波动率而言，更高的股票波动率表明股市的波动相较于债券市场的波动占主导地位，反之亦然。在下一节，我们将给出一个计量经济学模型，分析这个模型将得出与这里相同的结论。
尽管图表1显示出股票与债券之间的相关性与经济衰退几乎没有关系，但是美国国债确确实实在历史上表现出一种反周期的规律，这使它成为了在经济有压力时期对冲股票风险的合理工具。即便是在股票和债券呈正相关的时期也是如此。此外，因为相关系数度量的是两个变量偏离它们各自均值的共同程度，所以它并不会告诉我们均值本身的情况。因此，相关系数并没有告诉我们两个时间序列的相对方向性。一个更好的方法就是仅仅只看收益率。图表三展现了债券-股票12个月的滚动超额收益。显而易见的是，股票（蓝线）的表现无论是在将要出现经济衰退之前或者在经济衰退之中都不好，而在债券的收益率上并没有发现这样的模式。
图表4展现了在经济衰退时期详尽的股票与债券的超额收益数据。在前一半的经济衰退区间中，股票的表现明显差于债券, 月度超额收益的均值的差异是232个基点。这一差异在统计学上十分显著，t-统计量为-3.82。在后一半的经济衰退区间里，股票表现的要比债券好，从月度超额收益的均值上来看股票比债券高90个基点，尽管这两者之间的差异在统计学上并不显著（t=1.01）。但重要的是，无论是在前半段或后半段，债券的超额收益均为正，前后的夏普比率分别是0.34和1.03。即便是在动荡、通胀驱动的上世纪70年代，债券在每一次经济衰退中都取得了正的名义收益(我们估计，在1970、1974-1975和1980年的衰退中，总名义债券收益率分别为 13.4%，2.3%和18%)。所以说，虽然股票的收益率与商业周期密切相关，但美国国债却在历史上表现出了反周期的现象，在经济衰退期间它提供了稳定的回报。无论股票-债券的相关系数是正是负，情况都是如此。最后，债券的波动率在经济不稳定时期明显比股票要稳定，比起前一半的经济衰退区间，在后一半的衰退区间里债券的现实波动率下降明显。相反，股市的波动在后半段衰退区间里增加了近50%。
虽然股票和债券的相关系数是一个投资者们经常参照的指标，但相关系数却没有体现出股票和债券收益率之间的因果关系，也无助于评估量级。戈登折现分红模型 (Gordon dividend discount model) 能够帮助我们继续讨论。根据模型，股票的价格由以下公式给定：
其中p是股票的价格，D是股利，r是实际利率，g是实际股利增长率，ERP是股权风险溢价。由公式我们容易看出股票价格是如何随实际收益率、股利增长率还有股权风险溢价变化的：
换句话说，股票的实际久期是股价和股利之比。股价之于增长率的敏感度和股价之于风险溢价的敏感度是同一个量级的。换言之，当实际利率升高10个基点，而其他所有变量都保持不变，当价格-股利比例是40时（等价于股利收益率为2.5%），股票跌价4%。
但显然，其他所有的量是不会不变的。股票和债券收益的动态关系非常复杂，增长、收益率和溢价都互相关联。例如，股利增长率的增加会导致实际利率的增长，这是因为更高的增长率会导致对可贷款资金的需求增加。如果增长率的变化比起实际利率的变化更加正向，这应该会引起股市的拉升。而如果是实际利率的变化比较大，那么股价将下跌。反过来说，实际利率的升高会导致实际股利增长率的降低，这是因为更高的资本成本会抑制投资的需求。这对股票毫无疑问是不利的。因此，股票估值模型充满了难以理解的反馈机制。那么我们如何能够试图理解这种复杂性呢？
在本节中，我们建立了一个计量经济学模型，用于测试股票和债券之间的因果关系。具体而言，我们校准了一个关于股票收益率、实际债券收益率和通货膨胀预期的向量误差修正模型 (VECM) (Granger and Engle 1987)。虽然我们对模型参数的选择并不是源自一个正式的经济学模型，但我们能从公式（1）和（2）中对为何这样选择变量获得启发。我们的模型是由以下三个等式定义的:
图表5展示了用1953年4月至2017年10月的月度数据计算得出的等式（3）到（5）的系数估计结果(我们选择的估计窗口正好对应于美联储H.15 10年期国债的收益率数据)。在盈利收益率的等式中，对应于ERP的偏移量系数（协整项)说明了盈利收益率未来的变化和现在的风险溢价呈负相关，这与Campbell and Shiller（1998）的研究发现一致。换句话说，当ERP很低（高）时，盈利收益率在未来有上升（下降）的趋势。虽然这种影响在统计学上是显著的(p=0.004)，但收敛速度并不快；我们估计得到的 意味着盈利收益率的半衰期大约为5.5年，也就是说ERP的偏离不能被轻松套利。另外，当股票很贵（便宜）时，实际债券收益率在未来应该下降（上升），虽然这个系数并在统计学上并不显著（p=0.33）。我们对 和 的估计和图表6保持一致。图表6显示的是在不同初始ERP的情况下接下来五年盈利收益率和实际债券收益率的变化情况。举个图中的例子，当ERP位于最高分位时（5%-9%），5年后的盈利收益率下降了1.31%，实际债券收益率上升了1.11%。相反的，当 ERP位于最低分位时，股票收益上升了62个基点，实际债券收益率下降了103个基点。正如我们所预料的那样，我们没有发现通胀预期与ERP之间有意义的关系。
由于在VECM框架内所有的因子都相互联系，要确定一个变量对另一个产生的影响，只看系数是很难的。因此，为了评估实际债券收益率对盈利收益率的影响，或反之，我们对一个特定变量的现值做瞬间的波动然后观察其他所有变量在未来会如何变动。在每一次做敏感性分析之前，ERP的值被设定为3%，这与其长期平均相同。图表7展示了当初始的盈利收益率，实际债券收益率，或者预期通胀被波动之后对盈利收益率和实际债券收益率产生的预期影响。我们展示3个月和12个月两个时间间隔的统计结果(初始波动是根据月变化量的两个标准差做出的。这些值对于盈利收益率，实际收益率，和通胀预期来说分别是0.5%，0.5%和0.1%)。第一个面板显示了盈利收益率变化 +50个基点的结果（大约是股价下跌5%）。在3个月过后，盈利收益率提升了58个基点，与此同时实际债券收益率下降了14个基点。(在技术附录中，我们证明如何利用Gordon （1959）模型来导出盈利收益率和实际收益率的负相关性)。在12个月以后，变化分别为 +49个基点和-9个基点；第二个面板展示了实际债券收益率增加50个基点的结果（这大约会使持有10年期国债的收益为-4%）。在12个月后，实际债券收益率和E/P对应的变化值分别为64个基点和24个基点；最后，第三个面板证明了增加初始通胀预期10% 所带来的影响，它带来的影响和我们波动实际债券收益率所带来的影响方向相同：在3个月之后，盈利收益率提升了18个基点，与此同时，实际债券收益率增加了10个基点。在12个月之后，变化值分别为22个基点和12个基点。从这些结果中我们可以看出，股票和债券收益率之间的变化依据的是震荡的源头；股票市场的震荡一般会产生一个负相关性，而实际债券收益率和通胀预期的波动通常会导致未来股票和债券具有正相关性。
前一节中所展示的结果是基于ERP处于长期平均水平的假设。然而，正如图表6所展示的那样，市场估值会对未来股票和债券的收益率产生影响，从长远来看，它就像地心引力一般会逐渐把股票和债券的收益率逐渐拉向平衡状态。这一效应可以从表5中关于盈利收益率和实际债券收益率的误差修正项系数看出来。为了测试股票市场估值究竟有多大程度的影响，我们将盈利收益率，实际债券收益率和预期通胀做与前一节中相同的波动，但我们在这里设定初始的ERP位于高值或者低值(我们通过协整项调整初始的ERP值。特别的，我们设定这一项在便宜和昂贵情形下分别为4%（7% ERP） 和 -3% (0% ERP))。我们用ERP值为7%和0%来定义便宜和昂贵的股票市场的市场。这些值大约相当于历史ERP分布的95%和5%分位。历史上在这些分位值之外的例子有2008年金融危机（便宜）和上个世纪末的互联网泡沫的巅峰时期（贵）(我们估计股权风险溢价在1999年12月和2009年2月分别是-1.3%和7.1%)。在图例8中，我们展示了在不同市场估值的情况下盈利收益率和实际债券收益率基于各个变量波动的影响情况。标有'fair’的柱形对应的是上一节中描述的情形，也就是说，ERP取它的长期平均值。
图表8显示，当市场非常昂贵时，股票-债券的负相关性在对盈利收益率做正向波动后变的更加明显（FTQ效应）。实际上，当股票市场出现泡沫时，股市将进一步下跌（盈利收益率上升），而债券有更大的升值空间（实际利率下跌）。负向的股市波动加剧了在市场很贵时就早已存在的长期估值的力量。在另一方面，当市场很便宜时，市场估值将起到一种缓冲作用，从而导致股票和债券收益之间的相关性减弱。事实上，在便宜的市场情形下，当我们对股价做负向震荡的12个月后，盈利收益率更低而实际债券收益率更高，这与市场很贵时发生的现象刚好相反。虽然实际债券收益率的正向震荡导致了正常估值的市场和昂贵的市场都产生了股票和债券收益的正相关性，而当市场很便宜时，相关性为负，再一次反映了长期市场估值对于这两种资产的力的作用。对预期通胀的波动会导致在高估值市场和低估值市场里，债券和股票收益呈负相关性。因此，在12个月的区间里，市场估值对盈利收益率和实际债券收益率带来的影响在预期通胀正向波动后占主导地位。我们的结论是：与市场估值正常情况不同（市场正常估值时，因果关系十分重要），当市场离平衡状态很远时，估值效应占主导地位。(我们承认，由于我们的模型是在样本内拟合的，它所反应出来的效应可能会有所被夸大，并且和未来不一定吻合。但是，我们并没有说这个现象会是在未来可以被验证的，我们只是想要试图解释市场的历史表现)。
图表9展示了调整盈利收益率(CAEP)、实际债券收益率和ERP的变动趋势。自1953年以来，ERP的平均值为3%，年化标准差为2.1%。我们估计现在的ERP大约也是3%左右(在2017年11月30日，盈利收益率，实际债券收益率和通胀预期分别大约为3.2%，0.2%和2.2%)。所以我们预期，股票和债券收益率的事前表现大致是和市场估值公平的时候是一样的，正如前一节所描述的那样，FTQ效应会导致股票-债券的负相关性，实际债券收益率和通胀的波动会导致股票-债券的正相关。另外，当今实际债券收益率相对于股市的低波动性意味着实际债券收益率发生极端震荡的概率很小，也为股票债券市场的负相关的事前估计提供了论据。当然，出乎意料的通胀波动可能会导致股票债券的关系发生结构性的改变从而致使他们正相关。这会通过两种机制发生：第一，通胀自己发生了剧烈波动，这就有可能导致正相关性；第二就是美联储利率猛涨；最后，从历史上来看，全球范围内的高居民杠杆率和政府杠杆率就可能意味着债券收益率的上升和企业盈利的下降，进而导致股票和债券价格的同时下降。
图表9同样告诉我们股票-债券的相关性在上世纪90年代末发生结构性转换的原因。股票的风险溢价在2000年1月非常低，大约是-1.6%。正如前章节所描述的那样，当ERP很低的时候，FTQ效应加剧了他们的负相关性。正因为此，非常昂贵的股票市场加上由于2000年的衰退导致的股票市场的震荡可能是股票债券的相关性发生结构性改变的重要因素。相似的，正如图表1所展现的，相关系数在2008-2009向上偏移（虽然它仍旧是负的）。这可能是由于 Lehman Brothers 在2018年9月宣布破产后ERP激增所导致的。
为了提供历史上的上下文，图表10展示了一些时间区间内的初始ERP值，初始与结束时的盈利收益率和实际债券收益率。我们根据初始的ERP值将市场分为昂贵，便宜或公平的市场。我们所选取的波动源是主观的，但是我们认为将这些结果与前一节中所得的模型结果放在一起考虑将会是有用的。上世纪70年代是一个学习实际债券收益率震荡的很好的例子，在1973和1978年，由于原油市场供给侧的振荡，债券收益率上升。然而，1973年和1978年的初始环境完全不同：1973年2月，ERP是1.6%，但1978年3月的ERP是7.6%。所以，股市在第一次石油禁运时很富有，在第二次时估值很高。这导致了股票收益率在实际债券收益率正向波动后的不同反应，盈利收益率在1973年后激增，但在1978年后却下降。相反的，2000年和2008年是FTQ效应的很好的例子。因为经济形势的下滑，大量股票被抛售，导致盈利收益率分别上升了202个基点和230个基点。然而，市场在2000年时被高估，但在2008年时估值比较正常。这导致了2000年时真实债券收益率的下跌比2008年时更甚，分别下降了213个基点和67个基点。从图表10中发现的事实在很大程度上验证了上一节中我们从VECM 中得出的结论。
最后，我们模型的结果显示股票收益率和预期通胀有着显著的正相关性。这也许是出乎意料的。股票在某种程度上来说是“实物资产”，这是因为股票的现金流最终应与通货膨胀率成正比。然而图表五显示， (p=0.001)， (p=0.019), 这就意味着盈利收益率和债券实际收益率确实是对预期通胀的变化非常敏感的。通胀与实际收益率的正相关关系可能与债券市场对未来货币政策收紧的预期有关。但盈利收益率的正相关性的原因不太明显。此外，在盈利收益率等式中的通胀系数比在债券实际收益率等式中的通胀系数要大说明了ERP在通胀预期波动时会增加。这个结论在所有时间段都是成立的。表11以每10年为一个标识区间展示了ERP vs 5年滚动通胀的情况。虽然在上世纪70年代正相关性尤其强，我们能够看到自从20世纪50年代以来ERP和通胀的相关性就一直是正的。
现在许多学说都试图解释为何股票收益与通胀有着如此强的实证正相关性。一个非常经典的假说被称作“通胀错觉”，这个理论认为投资者错误的将名义折现率应用在了实际（股票）现金流上（Modigliani and Cohn 1979；Ritter and Warr 2002）。对于这个错误行为的普遍性，读者只需要去查看著名的 Fed 模型便可有个大致的理解。（ Fed模型对比了股票收益率和名义债券收益率（对应于实际债券收益率）(Asness 2003)。(尽管它被称为Fed模型，但这并没有得到美联储的正式认可。)）另外，最近的实证研究支持了投资者在市场中有着系统性定价错误的说法，这也与通胀错觉的假说达成了一致(Cohen, Polk and Vuolteenaho 2005)。我们将在图表5中得到的计量经济学结果解释为部分理性，部分行为性的，其中，真实债券收益率等式上的通胀系数反应了市场对于收紧货币政策的理性反应，盈利收益率等式中的系数则更大程度上是通胀错觉的影响。此外，图表8给这种行为性的假说增加了可靠性：在12个月的区间内，估值带来的影响在通胀波动的情况下占主导地位，这就意味着潜在的不理智的盈利收益率波动会在很短时间内被反转。
政府债券和股票回报率之间的相关性是资产配置中最重要的指标之一。如果过去投资者的经验在未来也是正确的，那么政府债券不仅仅能作为避险资产，更能使投资者的投资组合减少波动性，尤其是那些beta值很高的股票投资组合。然而，我们已在文章中证明了，这个重要的相关性取决于市场的震动是在股票端还是债券端产生的。当股市产生震动时，相关性通常是负的，但债券市场的震动对应于股票-债券收益率的正相关。另外，市场估值起着重要的作用：当股权风险溢价远离其长期平均时，估值可以在任何变量波动时对股票和债券收益率未来的变化起主导作用。因此，投资者在考虑他们对股票与债券关系的前瞻性观点时，必须考虑当前的市场估值。我们也提供了与股票和债券收益率同时大幅波动的历史时期的例子。我们发现，这些历史事件中有许多都产生了与我们的模型预测相一致的收益变化。
7.1
Gordon 增长模型与股票-债券的相关性
7.2
股权风险溢价的推导
【1】Arnott, R. D., and P. L. Bernstein. 2002. “What Risk Premium Is 'Normal’?” Financial Analysts Journal 58 (2): 64–85.
【2】Asness, C. S. 2000. “Stocks versus Bonds: Explaining the Equity Risk Premium.” Financial Analysts Journal 56 (2): 96–113.
——. 2003. “Fight the Fed Model.” The Journal of Portfolio Management 30 (1): 11–24.
【3】Campbell, J. Y., and R. J. Shiller. 1998. “Valuation Ratios and the Long-Run Stock Market Outlook.” The Journal of Portfolio Management 24 (2): 11–26.
【4】Cohen, R. B., C. Polk, and T. Vuolteenaho. “Money Illusion in the Stock Market: The Modigliani–Cohn Hypothesis.” Working paper no. 11018, NBER, 2005.
【5】Gordon, M. J. 1959. “Dividends, Earnings and Stock Prices.” Review of Economics and Statistics 41 (2): 99–105.
【6】Granger, C. W. J., and R. F. Engle. 1987. “Co-Integration and Error Correction: Representation, Estimation, and Testing.” Econometrica 55 (2): 251–276.
【7】Ilmanen, A. 2003. “Stock-Bond Correlations.” The Journal of Fixed Income 13 (2): 55–66.
【8】Johnson, N., V. Naik, N. Pedersen, and S. Sapra. “The Stock– Bond Correlation.” PIMCO Quantitative Research, 2013.
【9】Modigliani, F., and R. A. Cohn. 1979. “Inf lation, Rational Evaluation and the Market.” Financial Analysts Journal 35 (2): 24–44.
【10】Ritter, J. R., and R. S. Warr. 2002. “The Decline of Inf lation and the Bull Market of 1982–1999.” Journal of Financial and Quantitative Analysis 37 (1): 29–61.
我们提取了2003年1月至2019年8月万得全A与中证国债指数(185.1434, 0.03, 0.02%)的周度数据，并且计算了他们一年期的滚动相关系数，得到了如图表12的结果。
可以看到与美国市场不同的是，中国股票-债券的相关系数并没有呈现出长期为负的特点,而是在正负间来回波动。不过值得注意的是，自从2018年4月股票债券的相关系数由正转负后，股票债券的相关系数到现在为止一直维持在负水平。
图表13展示了2013年1月至2019年8月股票债券的相关系数与同时期股票减债券的周波动率的时序图。
从图表13的结果来看,股票-债券的相对波动率确实和它们之间的相关系数有一定的因果关系，例如2007年6月至2009年3月的股票相对波动率上升对应着相关系数由正转负，而2016年6月至2017年11月债券市场的大幅波动对应着相关系数的大幅增加。
我们用2002.10-2019.7月的月度数据对原文中的VECM模型在中国市场进行校正，得到的结果如图表14所示。其中Earning Yield使用的是万得全A市盈率TTM的倒数，Real Yield使用的是10年期国债的到期收益率减去当月同比CPI，通胀预期是实际3年CPI的移动平均。
风险提示：文献中的结果均由相应作者通过历史数据统计、建模和测算完成， 在政策、市场环境发生变化时模型存在失效的风险。
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