数学压轴题：等腰三角形与平行四边形

等腰三角形

【方法技巧】 

以线段AB 为边的等腰三角形构造方法如下图所示：

等腰三角形的另一个顶点在线段AB 的垂直平分线上，或以A,B 为圆心、AB 长为半径的圆上（不与线段AB 共线）．

解等腰兰角形的存在性问题时，若没有明确指出等腰三角形的底或腰，就需要进行分类讨论．通常这类问题的解题策略有：

(1 ）几何法：先分类讨论，再画出等腰三角形，后计算．

如图，若AB=AC ，过点A 作AD_l_BC ，垂足为D ，则BD=CD ， ζBAD ＝ ζ CAD,

从而利用锐角三角函数、相似三角形等知识解决问题．

(2 ）代数法：先罗列三边长，再分类讨论列方程，然后解方程并检验．

有时候几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好．

【典型例题1】

【答案解析】

【典型例题2】

【答案解析】

平行四边形

典型题1：难度★★★

矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4.将矩形沿EF对折，使点C与A重合，如图.折痕EF的长为        .

典型题2：难度★★★

如图（a），正方形ABCD中，P是AC上任意一点，连结BP，PQ⊥BP交DC于Q.求证：BP＝PQ.

典型题3：难度★★★

如图，分别以□ABCD的对边AB、CD为边在形外作等边△ABE、等边△CDF.连结CE交AB于点G，连结AF交CD于点H.试探索图形中除□ABCD外，是否有其他的平行四边形，并给予证明.

【答案解析】四边形AECF和四边形AGCH是平行四边形。

（1）对于□AECF：

方法1  □ABCD中，AB＝CD.因为△ABE和△CDF都是等边三角形，所以AE＝CF，EB＝DF，又因为BC＝AD，∠ABC＝∠ADC，∠ABE＝∠CDF＝60°，所以∠CBE＝∠ADF，所以△CBE≌△ADF，得CE＝AF，已证AE＝CF，所以四边形AECF是平行四边形.

方法2  设∠BAH＝α，则∠EAF＝60°＋α.因为□ABCD中AB∥DC，所以∠CHF＝α.在△CHF中∠CFH＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α，所以∠EAF＋∠CFA＝180°，则EA∥CF.因为EA＝CF，所以四边形AECF是平行四边形.

方法3  设□ABCD的对称中心为点O（对角线AC、BD交点），则将□ABCD绕点O旋转180°以后，AB与CD重合.因为△ABE和△CDF是同在平行四边形外全等的等边三角形，旋转后也相互重合，则对称点E、F连线经过点O，且OE＝OF.因为OA＝OC，所以四边形AECF是平行四边形.

（2）对于□AGCH：

因为（1）中已证□AECF可知AH∥GC，且已知□ABCD中AG∥HC，所以四边形AGCH是平行四边形.

典型题4：难度★★★★

如图（a），△ABC中AB＝AC＝13cm，BC＝10cm.M、N分别是AB、AC的中点。

（1）若C₁是BC的中点，连结MC₁、NB.求图中阴影部分的面积。

（2）将线段BC₁沿BC向右移动到B₁C₁位置，如图（b）.连结MC₁、NB₁.图中阴影部分的面积还与（1）中相同吗？请说明理由.

【答案解析】

（1）连结AC1，易知它是等腰三角形底边上的高，由勾股定理可得AC1＝12cm，从而cm2.连结MN、NC1，设MC1、NB交于点O.由三角形中位线定理及平行四边形的判定可知四边形MNC1B是平行四边形，所以.因为N是AC中点，所以，进而阴影部分面积cm2.

（2）线段BC1平移后阴影部分的面积仍为30cm2.方法1  连结MN、NC1、MB1、NB，设MC1、NB1交点为O，则仍有四边形MNC1B1是平行四边形，.这时△B1MN、△BMN是同底等高三角形，所以.所以结论还与（1）中相同。

方法2  易见不论线段B1C1平移到何处，图中平行四边形MNC1B1的面积不变。而平行四边形中的阴影部分面积（）等于平行四边形面积的一半，所以总的阴影部分的面积不会改变.