构造圆的基础上，运用圆的割线定理

已知圆的内接四边形ABCD，CD=BC，求证：CA²-CD²=AB·AD；

刚看完这道题，可能同学们会崩溃吧，两个线段的平方相减等于另外两个线段相乘，还就给了一个条件，这种类型题目的切入点确实不太好想，虽然事后看人家答案上给的方法看似挺容易，但是对于同学们来说却太难想到了，那么老师今天就给大家分享一下老师解答这道题的方法吧！

首先，两个线段的平方相减，要么是直角三角形，可惜这里不是，那就没有要么了，所以是否能转换为相乘形式呢？所以，就有了CA²-CD²=（CA+CD）（CA-CD），那么这个CA+CD和CA-CD怎么构造呢？或许已经有同学可以想到了，但是下一步该怎么着是不是又没啥着落呢？

如图，我们以点C为圆心，CD为半径做圆，交AC及AC延长线于F、E两点，那么AF=CA-CD，AE=CA+CD，这个不难理解吧？

那么接下来，这俩玩意儿相乘的转换有了，该干嘛呢？

当然是找AD·AB啦，

如下图，延长AD交圆C于另一点M，另外设AB与圆C的另一交点为N，

那么现在开始就要用上题中的已知条件了，CD=BC，可以知道AC为∠BAD的平分线，那么现在AC变为圆C外一点和圆心C的连线了，而且∠DAC=∠BAC，所以AM=AB，AD=AN，没问题吧？如果这个不知道怎么证明的话，过点C分别作AM和AB的垂线，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，和三角形全等慢慢研究，这里不多说；

那么AM=AB的话，AD·AM=AD·AB，

等等，这里是不是出现了三条割线，那么割线定理该上场了吧！

所以AD·AM=AF·AE，（用AN和AB也行）

AM换成AB，则AD·AB=AF·AE，

再将AF和AE分别替换为CA-CF和CA+CE，

然后将CF和CE都替换为CD，

最终替换后得到AD·AB=（CA-CD）（CA+CD）=CA²-CD²；

到这里整道题就结束了，当然这道题也有其他方法，但是同学们不要用作业帮去搜索，那上面别人给的答案是错的，这道题本来是别人问老师的，老师觉得题比较不错，有难度，所以放在这里给同学们分享一下。

该上九年级的同学估计这会儿根本看不懂，没事，等大家学完圆这一章节就基本清楚了。

这道题还有其他方法，但是老师这里没有，这还是现场给别人解答想出来的方法，所以有兴趣可以自己琢磨琢磨。