初中数学：十问综合压轴题（第7问解析）

老师用文档编辑了一下题目，做成了一个PDF文档，彩图版，多问配图，需要的同学可以在对话界面发送“十问压轴题”获取链接，已排版，可以打印出来；

每次推送一个小问的解题方法，觉得有用的同学可以收集在自己的习题集中。

如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax²+c与y轴的交点为A，直线l：y=kx+2c与y轴交于点P，且与二次函数交于B、C两点，过点B、C分别向x轴作垂线，垂足分别为D、E，且BP=BD，点M为BC下方抛物线上一动点，

（1）求证：ac的值为定值；

（2）探究：BD·CE与DE²是否存在某种数量关系？若存在，请求出该数量关系；若不存在，请说明理由；

（3）将二次函数y=ax²+c经过平移后，得到的新二次函数对称轴为x=2，顶点为点E，且经过点A，当四边形OECP为正方形时（如图2），求出图中阴影部分的面积；

（4）当k=2、c=1时，求△MBC面积的最大值，并直接写出此时点M的坐标；

（5）在（4）条件下，过点M作y轴的平行线，交BC于点N，求线段MN的最大值；

（6）在（4）条件下，假设点Q为x轴上一动点，是否存在这样的点Q，使△QBC为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（7）当c=2时，若PC=2BP，且过点C作CF⊥BC，交x轴于点F，求点F的坐标；

（8）在（7）条件下，若点G为y轴上一点，当△GBC为等腰三角形时，请直接写出符合条件的点G的坐标；

（9）若在（7）条件下，坐标系内的⊙H与BD、BC、CE均相切，求出圆心H的坐标；

（10）证明：△HBC为直角三角形恒成立；

图1

图2

图为老师在写字板上所画，由于只能全局擦除，所以有些地方很不标准没有办法更改，图2为随手又画了一个草图，两个图都可以看清楚，有强迫症的同学可以自己画一个。后面的图形老师就没有再画了，想要解题的同学就自己添上几笔吧。

提示：

（1）是到顶点的距离和到定直线的距离相等的证明，所以同学们可以慢慢想；

（2）可以利用勾股定理去证明，方法相对会比较简单，但不容易想到；

（3）不规则的阴影面积要利用割补转换的方法去思考；

（4）典型的三角形面积最大值问题；

（5）典型的截线段长度最大值问题；

（6）直角三角形存在性的情况讨论，算是压轴题中比较复杂的一种；

（7）这一问就要动点脑筋，可能很多同学想不出来方法，没事，多想想；

（8）等腰三角形存在性的情况讨论，不过点在轴上，情况比较多，算是稍微复杂点吧；

（9）这一问是老师突然想到的，放在这里比较有趣，利用九年级现有知识绝对没问题；

（10）送分题；

解析：

（7）

这一问两种方法：

先求出B、C的坐标，

怎么求？

联立二次函数和一次函数，

根据BP和PC的数量关系可得B和C的横坐标关系，

代入韦达定理求得k、B和C的坐标，

①三角函数法

延长CB到x轴，求出与x轴的夹角的正切值，

即得到∠ECF的正切值，

下一步得出EF，

进而求出点F的坐标；

②直线垂直法

利用EF⊥BC，得到EF的一次项系数，

设EF的解析式，

代入点C坐标，

得到完整EF解析式，

求出点F坐标；

昨天把这道题给学生从头到尾讲了一遍，发现直角三角形那一问的数值不是太好计算，没有办法，这个是临时的数据，所以没有去凑整数，不过，只要计算能力好点，其实也能很快计算出来。

其他的倒还好，没有什么特别难计算的数。