七上21讲 期末冲刺1 ——6题突破《线段角》中所有难题
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1、方程思想
例1：
已知∠AOB＝160°，∠COE＝80°，OF平分∠AOE．
（1）如图1，若∠COF＝n°，则∠BOE＝______°，∠BOE与∠COF的数量关系为_______；
（2）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如图3，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得∠BOD为直角，且∠DOF＝3∠DOE？若存在，请求出∠COF的度数；若不存在，请说明理由．
分析：
(1)(2)根据∠EOC和∠COF的度数，可以求出∠FOE的度数，从而可求∠AOE的度数，从而将∠AOB的度数减去∠AOE的度数，就是∠BOE的度数，若将∠EOF的度数用n来表示，或将位置改变，方法也是不变的．
(3)要求∠COF的度数，只需求出∠EOF的度数，用∠COE的度数相减即可．而要求∠EOF的度数，我们可以借助∠DOF＝3∠DOE的条件，最后，利用∠AOD＋∠BOD＝160°，建立方程．
解答：
(1)设∠COF＝n°，
∠FOE＝∠COE－∠COF＝(80－n)°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠FOE＝(160－2n)°，
∴∠BOE＝∠AOB－∠AOE
＝160°－(160－2n)°＝2n°，
∴∠BOE＝2∠COF．
(2)结论仍然成立，方法同(1)．
(3)∵OD⊥OB，∴∠BOD＝90°，
设∠DOE＝x°，∴∠DOF＝3x°，
∠FOE＝∠DOF－∠DOE＝2x°，
∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠FOE＝4x°，
∴∠AOE＋∠DOE＋∠BOD＝∠AOB，
4x＋x＋90＝160，x＝14，
∴∠EOF＝2x°＝28°，
∠COF＝∠COE－∠EOF＝80°－28°＝52°
2、分类讨论
例2：
分析：
解答：
3、旋转相关
例3：
已知直线AB和CD交于点O，∠AOC 的度数为 x，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．
(1)当x＝19°48′，求∠EOC与∠FOD的度数．
(2)当x＝60°，射线OE、OF 分别以10°/s，4°/s的速度同时绕点O顺时针转动，求当射线OE与射线OF 重合时至少需要多少时间?
(3)当x＝60°，射线OE以10°/s 的速度绕点O顺时针转动 ， 同时射线OF也以4°/s的速度绕点O逆时针转动，当射线OE转动一周时射线OF也停止转动．射线OE在转动一周的过程中当∠EOF＝90° 时，求射线OE 转动的时间．
分析：
(1)问非常简单，不再赘述．
(2)这是一个追及问题，射线OE的速度快，显然是OE在后追OF，追及的度数是用360°减去∠EOF的度数．
(3)由于方向变化，问题又变成了一个相遇问题，相遇前，两射线的夹角与第(2)问相同，要使夹角为90°，则转过的度数之和分3种．
相遇之前，夹角为90°，即转过的度数之和为(2)中的度数减去90°．
相遇之后，夹角为90°，即转过的度数之和为(2)中的度数加上90°．
相遇之后，夹角为(360－90)°，即转过的度数之和为(2)中的度数加上(360－90)°．
解答：
(1)∵∠BOE＝90°，
∴∠AOE＝∠AOB－∠BOE
＝180°－90°＝90°，
∴∠EOC＝∠AOE－∠AOC
＝90°－19°48′＝70°12′
∠AOD＝∠COD－∠AOC
＝180°－19°48′＝160°12′
∵OF平分∠AOD，
∴∠FOD＝1/2∠AOD＝80°6′
(2)∵∠AOC＝60°，∴∠AOD＝120°，
∠AOF＝60°，
∠EOF＝∠AOF＋∠AOE＝150°，
解设t秒后重合，
(10－4)t＝360－150，t＝35．
(3)
4、定值探究
例4：
分析：
解答：
5、双角平分线
例5：
如图，两个形状、大小完全相同的含有30°，60°角的三角尺如图①放置， PA， PB与直线 MN重合，且三角尺 PAC，三角尺 PBD均可以绕点 P逆时针旋转．
(1)试说明：∠DPC＝90°；
(2)如图②，若三角尺PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定角度， PF平分∠APD， PE平分∠CPD，求∠EPF；
(3)如图③，若三角尺PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角尺PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，在两个三角尺旋转过程中(PC转到与PM重合时，两三角尺都停止转动)，试说明：∠BPN＝2∠CPD．
分析：
(1)问简单，不再赘述．
(2)典型的双角平分线问题，先找出现两次的边，即公共边，PD，则组成∠EPF的两条边，PE，PF，必然与PD形成2个角，∠FPD，∠EPD，则∠EPF必为这两个角的差或和，然后利用一半减一半，或一半加一半解决．
(3)分别用含t的代数式表示∠BPN，∠CPD，注意∠CPD在表示时，要考虑到PD旋转到MN下方的情况，因此，用平角∠MPN＋∠MPN－∠BPD－∠APC－∠APN最合适．
解答：
(1)∵PA， PB与直线 MN重合，∴∠APB＝180°
又∵∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，
∴∠DPC＝∠APB－∠CPA－∠DPB
＝180°－30°－60°＝90°；
6、动点综合
例6：
已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数﹣24，﹣10，10．两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒．
（1）问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？
（2）问多少秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位？若此时甲调头往回走，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由．
（3）若甲、乙两只电子蚂蚁（用P表示甲蚂蚁、Q表示乙蚂蚁）分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度变为原来的3倍，乙的速度不变，直接写出多少时间后，原点O、甲蚂蚁P与乙蚂蚁Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点．
分析：
本题是一道好题，将动点问题中3个重要知识点串联在了一起，
(1)如何表示t秒时，某个点表示的数，(2)如何表示t秒时，两个点之间的距离，(3)如何表示两个点的中点．
(1)问，可以用行程问题解决，但我们可以用相遇时，这两个点表示的数相等来建立方程．
(2)分别用含t的绝对值代数式来表示后甲到A，B，C三点的距离．然后建立关于t的绝对值方程，注意，要考虑所求时间是否在范围内，调头走的时间是否合题意．
(3)依旧可以用含t的代数式表示t秒时，点P，点Q表示的数，利用中点公式，建立方程求解．
解答：