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如图，△ABD、△CDE是两个等边三角形，连接BC、BE．若∠DBC＝30°，BD＝2，BC＝3，则BE²＝_____． 分析：
本题中，要求BE的平方，想到放在直角三角形中，而这里有两个等边三角形共顶点D，想到可以直接构造手拉手模型，连接AC即可．
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如图，已知点P是等边△ABC的内部一点，要使∠BPC＝150°，∠APC＝120°，则线段PA、PC必须满足的数量关系是________． 分析：
这是一个经典的模型，AB＝AC，满足等线段，共顶点，则可以通过旋转构造手拉手模型．将PA绕点A顺时针旋转60°到EA，连接BE，PE，从而将PA，PC的位置进行转化，求出数量关系．
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如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是_______． 分析：
本题与例2异曲同工，BQ＝BP，满足等线段，共顶点，一般想旋转．可将BC绕点B逆时针旋转60°到BD，由于∠ACB＝90°，∠A＝30°，得∠CBA＝60°，D在BA上，且BC＝BD＝AD，即D是BA中点．
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如图，∠MON＝90°，长方形ABCD的顶点B、C分别在边OM、ON上，当B在边OM上运动时，C随之在边ON上运动，若CD＝5，BC＝24，运动过程中，点D到点O的最大距离为_________． 分析：
在我们目前接触过的最值中，基本都是“两点之间，线段最短”，且多为一条线段与两条定长的折线段长度之和去比较，因此，这里要想到构造两条定长的折线段，考虑到△OBC是直角三角形，想到是取BC的中点E，连接OE、DE、OD，OE是BC的一半，DE也可求，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知，当O、D、E三点共线时，点O到点D的距离最大．
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如图，∠MON＝90°，已知△ABC中，AC＝BC＝25，AB＝14，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为________． 分析：
本题与例1类似，也需要构造两条定长线段，由于△ABC形状确定，是等腰三角形，△AOB形状也确定，是直角三角形，且两三角形的斜边和底边是公共边，则想到取AB的中点，连接CD，OD，利用线段和差来解决．
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如图，已知点C是∠AOB平分线上的点，点P、P分别在OA、OB上，如果要得到OP＝OP′，需要添加以下条件中的某一个即可：①∠OCP＝∠OCP′；②∠OPC＝∠OP′C；③PC＝P′C；④PP′⊥OC．请你写出所有可能的结果的序号：_______． 分析：
①OCP＝∠OCP′，符合ASA，可得△OPC≌△OP′C，从而得到OP＝OP′； ②∠OPC＝∠OP′C；符合AAS，可得△OPC≌△OP′C，从而得到OP＝OP′；
④PP′⊥OC，符合ASA，可得△OPC≌△OP′C，从而得到OP＝OP′；
③中给的条件是SSA，全等三角形判定中没有这个定理． 上图是③的反例，显然△OPC和△OP′C不全等．
但在这个图形中，我们可以继续探究，发现∠OPC＋∠OP′C＝180°，这是四边形OPCP′中相对的两个角，即所谓“对角互补”模型，具体证明我们可以看下一例题，更多内容，请点击公众号9.27文章《【八上必读】“边边角”真的不能证全等吗？》．
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如图，已知点D为OB上的一点，请用直尺和圆规按下列要求进行作图，保留作图痕迹．
(1)作∠AOB的平分线OC；
(2)在OC上取一点P，使得OP＝a；
(3)爱动脑筋的小刚经过仔细观察后，进行如下操作：在边OA上取一点E，使得PE＝PD，这时他发现∠OEP与∠ODP之间存在一定的数量关系，请写出∠OEP与∠ODP的数量关系，并说明理由． 分析：
前两问非常基础，重点在第(3)问，不难发现，PE＝PD这个条件，实质上与上例中的条件③PC＝P′C是完全类似的，因此探究这两个角的关系之前，需要精确作图，利用圆规截取相等时，应该以P为圆心，PD长为半径，在OA边画弧，不难发现有两个交点，E1，E2．
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如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t(t＞0)秒．
(1)记△CBQ的面积为S，请用含有t的代数式来表示S；
(2)伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为直线l．
①当直线l经过点A时，求AQ的长；
②直接写出这样t的值，使得直线l经过点B． 分析：
这是一个双动点问题，我们要分类讨论点P，点Q在不同边上的运动情况， 点P情况较简单，
从A到C，共用时5秒，则AP＝t，0≤t≤5，
点Q稍微复杂，
从B到A，共用时3秒，则BQ＝t，AQ＝3－t，0≤t≤3，
从A回B，共用时3秒，则AQ＝t－3，BQ＝3－(t－3)＝6－t，3＜t≤6，
综上，时间应分两段，0≤t≤3，3＜t≤5．
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如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
(1)t为何值时，BP平分∠ABC．
(2)t为何值时，△BCP为等腰三角形？
(3)另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？ 分析：
(1)本题提到了角平分线，则想到作辅助线，见角平分线作垂直． (2)关于等腰三角形存在性问题，方法就是两圆一线，CB为腰，则分别以C，B为圆心，CB长为半径，作圆，两圆的交点连线，即为中垂线，此时CB可作底．
(3)与例1类似，我们要分类讨论点P，点Q在不同边上的运动情况，
点P从C到A，共用时8秒，0≤t≤8，
从A到B，共用时10秒，8＜t≤18．
点Q从C到B，共用时3秒，0≤t≤3，
从B到A，共用时5秒，则3＜t≤8，
从A到C，共用时4秒，则8＜t≤12，
综上，时间应分3段，0≤t≤3，3＜t≤8，8＜t≤12．
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八上12讲 《勾股定理》解题方法(下)—— 从立体到平面
【期中特辑】八上考前冲刺易错题大汇总！
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