八上第一讲 全等证明格式易错分析（附“捆绑旋转”秒杀一类全等填空题）

写在前面

转眼间，新学年开学已一周有余，这个周末终于得空更新．在第33个教师节来临之际，顺祝各位同行节日快乐！

本文主要涉及2部分内容．

第一部分，在一周的全等教学中，发现学生在书写时出现了几个问题，为了避免同学们在考试时扣分，因此，我专门举例分析，希望引起同学们的重视，并及时纠正．

第二部分，在一些全等填空题中，经常会出现旋转型的全等，虽然目前同学们并没有真正系统学习“中心对称”内容，但旋转作为历年中考的热点，有些题如果掌握方法，则可“秒杀”．

同时，联想到8月常州研讨时，宁波郑瑞老师所作《以旋似之名，辟作图之径》讲座的入门题，在此也顺便一起作个迟到的分析．

一、全等证明格式易错分析

分析：

本题是一道SAS全等的简单题，有边等的条件，根据平行，可得内错角相等，即有“一边一角”条件，易得还有一边作为公共边相等，即可得证．但是在书写过程中，还是容易出现许多问题，现展现如下．

证明：

∵AD∥ BC，∴∠DAC＝∠BCA

错误1：对应顶点不对应

在△ADC和△ABC中

……

∴△ADC≌△ABC ( SAS )

剖析：

（全等符号在编辑时默认成这个样子，见谅）  这是最常见的错误，许多同学认为，这两个三角形的全等可以看作由其中一个沿AC边翻折得到，其实不然！由条件可知，四边形ABCD实为平行四边形，则AC为其对角线，则这两个三角形是关于对角线AC的中点中心对称，也可以说其中一个三角形绕AC中点旋转180°可与另一个三角形重合．现将其旋转重合经过用几何画板进行演示：

所以可知，若由△ADC绕AC中点旋转180°，则A点旋转后与原来的C点重合，C点与原来的A点重合，应为△ADC≌△CBA．

小结：其实三角形全等最重要的是确定对应顶点，在书写前，仔细观察三个对应顶点，做到一一对应，那么，接下来在写对应边和对应角时，字母顺序就不会错了．

二、“捆绑旋转”秒杀一类全等填空题

解析：

本题不难，DE⊥BC．常规方法必然是延长DE交BC于F，用八字形结论或者直接借助∠C和∠D之和为90°即可．

但是我们可以换个角度看问题，不难发现这两个三角形全等可以看作由其中一个三角形绕点A旋转90°到另一个三角形得到．我们更多时候关注了CA旋转到EA，BA旋转到DA，却忽视了三角形旋转时，是 “捆绑旋转”的，不仅是点在旋转，每条边都在旋转，那么CB也可以绕点A旋转90°到ED，则此时DE⊥BC．

解析：

这个模型是经典中的经典，其中隐藏的结论极多，这次我们先从最简单的全等入手．

不难发现△BCD≌△ACE，从“捆绑旋转”角度来看，△BCD绕点C顺时针旋转60°到△ACE，则BD也绕点C顺时针旋转60°到AE，即∠BFA＝60°，∠BFE＝120°．

例3：2017年8月常州“数学行者”研讨（宁波郑瑞老师讲座例题）

分析：我们可令点A在直线a上，点B在直线b上，点C在直线c上．要想直接完成本题，还是有一定难度的．不妨先在直线a上任取一点A，在直线b上任意取一点B，作等边△ABC，用几何画板看看点C可能的位置．

我们可以看到点C的轨迹是一条直线，这是为什么呢？

其实我们依旧可以用“捆绑旋转”来解释，点C可以看作由点B绕点A逆时针旋转60°得到，而点B是在直线b上运动，则点C也必然在直线上运动，且轨迹是将直线b绕点A逆时针旋转60°所在的直线．

如果用网上热门的“瓜豆原理”来说明，其本质相同．点B是主动点，点C是从动点，点C由点B绕点A旋转得到，那么点C的轨迹就是由点B的轨迹绕点A旋转得到．

解答：

如图，将直线b绕点A逆时针旋转60°到直线b’，与直线c交于点C，连接CA，将CA绕点A顺时针旋转60°，交直线b于点B，则△ABC即为所求．

小结：

“捆绑旋转”是一种重要的解题方法，尤其当出现等边三角形，等腰直角三角形时，可以秒杀许多题．但前提是我们必须把图形看作一个整体，在旋转的过程中，关注每条边，他们都经历了旋转，哪怕并未相交的对应边，其夹角也必然与其他旋转角的度数相等．

而在今后的全等证明中，有一类“补短”法，其添加辅助线的方法本质也是“捆绑旋转”，到时，我们可以继续研究！

END