几何、分形与时空：跨越百年的维度定义之旅
导语
我们生活在三维空间和时间编织而成的四维时空中，可是在精确的意义上，维度到底是什么？更高维度的时空意味着什么？不同维度之间是否存在难以突破的壁垒，还是有着深刻联系？非整数维度是什么样子？
研究领域：维度，分形，四维时空，高维数据
维度的概念乍一看似乎很直观。瞥一眼窗外，我们可能会看到落在纤细的旗杆上体验零维空间的乌鸦，被限制在一维电话线上的知更鸟，在二维地面上自由移动的鸽子，还有翱翔在三维空间的老鹰。
但是对于数学家来说，为维度的概念找到一个明确定义实则异常困难。我们经过数百年的思想实验和富有想象力的比较，才得出目前对维度概念的严格理解。
1. 超越三维
古人知道我们生活在三个维度中。亚里士多德[1]写道：“向一个方向延伸的是直线，两个方向延伸的是平面，三个方向延伸的是物体。除此之外就没有其他了，这些就是所有的维度。”
然而相比于其他人，数学家更热衷于想象更多维度的思维训练：垂直于已知的三个维度的第四维度会是什么样子？
一种流行的方法：假设我们的可知宇宙是三维空间中的二维平面。一个在平面上方的实心球对我们来说是看不见的。但是如果它坠落并接触到平面，就会出现一个点。当它继续穿过平面时，圆盘会不断变大，直到达到其最大尺寸，然后缩小并消失。正是通过这些横截面，我们才能看到三维物体的形状。
图1：在平面上只能看到三维物体的横截面。| 来源：Samuel Velasco/Quanta Magazine
类似地，在我们熟悉的三维宇宙中，如果一个四维球穿过它，这个四维球会以一个点的形式出现，之后成为一个实心球，最终达到完整半径的球，然后半径减小并消失。这给了我们关于四维形状的感知，但是对于这样的物体，还有其他思考方式。
例如，让我们尝试通过构建超立方体来可视化立方体的四维等价物。如果我们从一个点开始，可以在一个方向上拖动它以获得一条线段。之后，当我们垂直于拖动方向移动线段时，得到一个正方形。在第三个垂直方向拖动这个正方形会产生一个立方体。同样，我们通过在第四个方向上拖动立方体来获得超立方体。
图2：通过将蓝色位置的图形拖动到紫色位置，我们可以可视化各种维度的图形，包括超立方体。
或者，就像我们可以将立方体的面展开为六个正方形一样，我们可以展开超立方体的三维边界以获得八个立方体，正如萨尔瓦多·达利 (Salvador Dalí) 在 1954 年的画作《受难》(Crucifixion，Corpus Hypercubus) 中所展示的那样。
图3：我们通过展开正方体得到的面来想象一个立方体。我们可以通过展开超立方体得到的立方体来想象超立方体
所有这一切构成了对维度的直观理解，即如果一个抽象空间有n个自由度（就像那些鸟一样），或者需要n个坐标来描述一个点的位置，该空间就是n维的。然而，数学家发现维度比这些简单的描述要复杂。
2. 定义维度
人们对更高维度的正式研究出现在19世纪，相关研究在几十年内变得相当复杂：1911年的参考书目包含1832条对n维几何的引用。也许因此，在19世纪末和20世纪初，公众开始迷恋第四维度。1884 年，埃德温·阿博特 (Edwin Abbott) 创作了流行的讽刺小说《平面国》（Flatland），小说以二维生物遇到三维生物作为类比，帮助读者理解第四维度。1909 年《科学美国人》征文比赛题为“什么是第四维？” ，有245份参赛作品争夺500美元的奖金。许多艺术家，如巴勃罗·毕加索（Pablo Picasso）和马塞尔·杜尚（Marcel Duchamp），将第四维的想法融入到作品中。
但在这段时间里，数学家们意识到，维度缺乏正式的定义实际上是一个问题。
乔治·康托尔 (Georg Cantor) 因发现无穷大有不同的势 (cardinality）而闻名[2]。起初，康托尔认为线段、正方形和立方体中的点集必须具有不同的势，就像一条10个点的线、一个10×10的点网格和一个10×10×10的点立方体有不同数量的点。然而，在1877年，他发现线段中的点与正方形（以及所有维度的立方体）中的点之间存在一一对应关系，这表明它们具有相同的势。凭借直觉，他证明了尽管维度不同，线、正方形和立方体都具有相同数量的无穷小的点。康托尔写信给理查德·戴德金（Richard Dedekind），“我看到了，但我不相信它。”
康托尔意识到这一发现威胁到n维空间需要n个坐标来描述的直觉观念，因为n维立方体中的每个点都可以由一段区间中的一个数字唯一标识。因此，从某种意义上说，这些高维立方体相当于一维线段。然而，正如戴德金指出的那样，康托尔的函数是极不连续的——它本质上是将一条线段分成无限多个部分，然后将它们重新组合成一个立方体。这不是我们所希望的坐标系的行为。这种坐标系太过无序，无法为我们描述物体提供帮助，就像是为曼哈顿的建筑物提供唯一地址却随机分配这些地址。
然后，在1890年，朱塞佩·皮亚诺 (Giuseppe Peano) 发现，可以将一维曲线缠绕得如此紧密且连续，以至于可以填充二维正方形中的每个点。这是第一条空间填充曲线（space-filling curve）。但皮亚诺给出的例子也不是坐标系的良好基础，因为曲线与自身无限多次相交。回到对曼哈顿的比喻，这就像给一些建筑物多个地址。
图4：这些是产生空间填充曲线的前五个步骤。
在每一步，曲线的面积为零，但在极限情况下，它填充了正方形。这条特殊的曲线是由大卫·希尔伯特（David Hilbert）引入的。
这些和其他令人惊讶的例子清楚地表明，数学家需要证明维度是一个真实的概念。例如，当n≠ m时，n维和m维欧几里得空间的某些基本性质是不同的。这个目标被称为“维度不变性”（invariance of dimension）问题。
终于，在1912年，在康托尔的发现之后将近半个世纪，在人们多次证明维数不变性的尝试失败之后，布劳威尔（L.E.J. Brouwer）使用自己创造的一些方法并取得了成功。从本质上讲，他证明了不可能将一个更高维的物体放入较低维度的空间中，以及在不将物体分成许多部分（如康托尔所做的那样）、不允许物体与自身相交（如皮亚诺所做的那样）的情况下，使用较低维度的物体填满较高维度的空间。此外，大约在这个时候，布劳威尔等人给出了各种严格的定义，例如，可以根据球在n维空间中的边界是n-1维这一事实，帮助归纳地确定维数。
尽管布劳威尔的工作将维度概念置于强大的数学基础上，但它无助于增强我们对高维空间的直觉：对3维空间的熟悉太容易使我们误入歧途。正如托马斯·班乔夫 (Thomas Banchoff) 所写，“我们所有人都是对自己所在维度存有偏爱的奴隶。”
例如，假设我们将2n个半径为1的球体放置在边长为4的n维立方体中，然后将另一个球体放置在与它们中心相切的位置。随着n增加，中心球体的大小随之增加——它的半径为√n -1。但是，令人震惊的是，当n≥10时，这个球体会伸出立方体的边。
图5：中心球体随着维度的增加而变大，最终会突出到立方体外面。
高维空间中令人惊讶的现实导致统计和数据分析出现问题，统称为“维数灾难”（curse of dimensionality）。许多统计方法所需的样本点数量随维度增加呈指数增长。此外，随着维度增加，点形成聚类的概率会降低。因此，找到为高维数据降维的方法十分重要。
3. 分形和非整数维度
维度的故事并没有因为布劳威尔而终结。仅仅几年之后，费利克斯·豪斯多夫（Felix Hausdorff）提出了一个新的维度定义，之后的数学发展证明该定义对现代数学至关重要。
考虑维度的一种直观方式是，如果我们将d维物体均匀地缩放或放大k倍，它的大小会增加到kd倍。假设我们将一个点、一条线段、一个正方形和一个立方体放大3倍，点的尺寸不变（30=1），线段变成3倍（31=3），正方形变成9倍 (32=9)，立方体变成27倍 (33=27)。
图6：当我们将d维对象放大k倍，其尺寸会增加到 kd 倍。
豪斯多夫定义的一个令人惊讶的结果是，物体可能具有非整数维度。几十年后，当伯努瓦·曼德尔布罗特（Benoit B. Mandelbrot）问道：“不列颠的海岸有多长？”时，结果证明非整数维度正是他所需要的。海岸线如此参差不齐，以至于无法用任何尺子精确测量——尺子越短，测量结果越大越精确。曼德尔布罗特认为，豪斯多夫维数提供了一种量化这种锯齿状海岸线的方法，并在 1975 年提出了术语“分形”来描述这种无限复杂的形状。
图7：英国海岸线的测量长度取决于尺子的大小。
要了解非整数维度可能是什么样子，让我们考虑以迭代方式生成的科赫曲线（Koch curve）。我们从线段开始。在每个阶段，我们删除每个线段的中间三分之一，并用与删除的线段长度相等的两个线段替换它，无限次地重复此过程以获得科赫曲线。仔细研究它，你会发现它包含4个与整个曲线相同但大小只有三分之一的部分。因此，如果我们将这条曲线缩放3倍，我们将获得原始曲线的4个副本。这意味着其豪斯多夫维数d满足 3d=4，因此，d=log3(4)≈1.26。科赫曲线并不像皮亚诺曲线那样完全充满空间，所以它不是二维的，但它也不是一条一维线，而是1.26 维。
图8：科赫曲线包含四个与整条曲线相同但尺寸为其三分之一的部分，其豪斯多夫维数不是整数， log3(4)≈1.26 维
4. 四维时空之外
最后，有些读者可能会想，“时间不是第四维吗？” 事实上，正如威尔斯1895年的小说《时间机器》（The Time Machine）中的发明者所说：“时间与空间的三个维度中的任何一个都没有区别，只是我们的意识沿着它移动。” 1919 年，作为第四维的时间在公众的想象中爆发，日食让科学家们证实了爱因斯坦的广义相对论和闵可夫斯基（Hermann Minkowski）的平坦四维时空的曲率。正如闵可夫斯基在1908年的一次演讲中所预言的那样，“此后独自的空间和独自的时间注定会消失在阴影中，只有空间和时间的某种结合才能保持独立的现实。”
今天，数学家和其他人的研究经常偏离我们所在的三个维度。有时研究会涉及额外的物理维度，例如弦论所要求的那些维度，但更多时候我们抽象地工作，并不设想实际空间。一些研究是几何的，例如玛丽娜·维亚佐夫斯卡（Maryna Viazovska）在2016年发现了在8维和24维填充球体的最有效方法[3]。在物理、生物学、工程、金融和图像等不同领域研究分形时，有时需要非整数维度。在这个“大数据”[4]时代，科学家、政府和企业建立了人、地点和事物的高维度档案。
幸运的是，无论鸟类和数学家，都不需要完全理解维度就可以体验维度。
Maggie Chiang | 作者
潘佳栋 | 译者
梁金 | 审校
邓一雪 | 编辑