球心从外心升起 高阶几何体外接球通解

找外接球球心时，将球心比作太阳，即：太阳从外心升起。

给出几类图，大家体会一下：

下面给出底面多边形其它形状，核心是底面要共圆。只要能共圆，太阳就能照常升起。下面模型中各有一条侧棱垂直于底面。

（1）底面为正方形（矩形）型，典型的共圆，外心在对角线交点上，球心从外心升起。

（2）底面为等腰梯形，必定共圆，根据具体形状，找到外心，球心从外心升起。

（3）底面角A,角C=90度的四边形，外心在对角线BD的中点处，球心从外心升起。

（4）底面若为可共圆的四边形，根据具体形状，找到外心，然后球心从外心升起。

外接球的几何体模型就可以解脱特殊底面的束缚，可以是任意三角形，因为三点必定共圆，球心必定从外心向上升起。还可以是共圆的四边形甚至多边形，只要N点共圆，就可以找到外心，球心必定可以从外心向上升起。有了这样认识，就走在命题者的前面，来应对可能的变化。外接球问题的几何体更自由。

以一个底面为任意三角形的三棱为例，如何找到球心，并如何解得半径。

由此可见，三棱锥底面是任意三角形，只要能确定下外接圆的圆心，仍然可以研究几何体的外接球问题，由上面的解法中可以看出，正弦定理的几何意义2r=a:sinA，是求任意三角形外接圆半径的关键。只要底面三角形是可解的，比如知三条边，或者两边一角什么的，都可以运用解三角形的知识求出外接圆半径的值，有了这个关键量，进而求得外接球半径就简单了。

至于前文给出的其它情形，都是类似的解半径R的方法。