文学对偶与数学对偶

数学与文学艺术,虽然是人类思维活动的两个不同领域,但在它们之间,也有很多互通的地方,存在着不少共同的模式。例如模糊数学的研究,已经渗透到文学领域;而语言学的方法,也已经在图像识别这种尖端部门发挥了重要作用。尤其是独树一帜的对联这种文学形式的对偶关系,与数学中经常碰到的对偶模式可以说是相近相邻。

1979年夏季,著名画家刘海粟在一个画展上题词:

笔底人间烟火,

纸上四海风云。

这是一副高度概括画展精神面貌,在技巧上天衣无缝的绝好对联。

唐代大诗人杜甫写过一首怀念李白的诗,里面有一副对仗极其工整的联语:

敏捷诗千首,

飘零酒一杯。

由于有了这样的佳句,使后世很多人为之搁笔了。然而清朝名士王百朋所见到的李白庙的著名对联:

气吞高力士,

眼识郭汾阳。

真是“言简意赅,直欲驾杜甫而上之”。

读一副好的联语,是一种高尚的艺术享受。这样的好对联到处都有,真是多得很。就连扬州一家理发店里,也挂着一副妙趣横生的好对联:

磨砺以须,问天下头颅几许?

及锋而试,看老夫手段如何!

这些对联在造型上,“对偶性”极其之妙,天对地,雨对风,实对实,虚对虚,平对仄,仄对平,恰似天造地设一般。

在数学中,也经常碰到对偶这一模式,尤其是在射影几何和布尔代数中,出现得更为频繁。

在平面几何里,我们研究图形的性质。比如点与直线间有一种简单的位置关系,我们说:“一点在一直线上”。这件事实也可以换成另外一种说法:“一直线通过一点”。

在这里,“点”与“直线”两个名词互换了一下地位。像这样的两个命题,在几何上称为“自行对偶”命题,“点”与“直线”称为对偶元素。

在几何里,关于位置关系的命题还有很多。例如:“两点在一直线上”与“两直线交于一点”。这当然是两种不同的位置关系。但是，只要把“点”换成“直线”,“直线”换成“点”,再把关系词适当改变一下,就可以由前面一种关系得出后面一种关系。像这类命题,几何学中称为“互为对偶”命题。

首先注意到这种现象的人是大数学家庞加莱,他发现,几何学中许多定理,只要把其中的“点”与“直线”,关系词“在上”与“交于”互相调换一下地位,就可以从一套定理得出另一套定理,如果前者真实的话,那么后者也是真实的。这就是数学中有名的“对偶原理”。常见的对偶现象，拔高到原理的高度。这是一项很了不起的发现。

［对偶原理］

越是基本的数学定理，越是美妙，我们来看一个数学中非常漂亮的定理，美妙到都难以找到第二个来相媲美——对偶原理。

对偶原理，又叫对偶原则。对偶原理是指在射影空间中，若一个命题成立，则其对偶命题也必成立。

在使用对偶定理前，我们必须有个约定：平面中的直线相交于无穷远，三维中的平行面共线于无穷远……。

然后我们就可以，随心所欲地操控对偶原理了！

比如：

1、平面内，过两点只能做一条直线；

对偶原理：两条线只能交于一点；

2、平面内，不相交的三点，可唯一确定过这三点的圆；

对偶原理：不共线的三条线，可唯一确定相切于这三条直线的圆；

3.Ａ：如果两个三角形的对应顶点的连线相会于一点，则这两个三角形的对应边的交点必定在同一直线上。

Ｂ：如果两个三角形的对应边的交点在同一直线上，则这两个三角形的对应顶点的连线必定相会于一点。

对偶原理指出在射影平面中，把一个定理的“点”和“直线”对互换，然后其相对应的性质也替换后，得到的命题依然成立。

该定理包含的思想，远不止于数学当中：

1、电磁学中，磁场和电场在某些条件下，也有这样的对偶性；

2、在电路分析中，并联和串联、电容与电抗、电流和电压，也满足类似的对偶变换；

3、在逻辑学中，“+“和”-“、“1”和“0”满足这样的对偶变换；

……

甚至，几乎在任何领域，都能找到类似对偶定理的影子，或许这正是一种对称性的体现，而对称性普遍存在于我们的宇宙当中。

在数学中，对偶原理把真理的对称性，以非常美妙的形式体现了出来，这也推动着数学各个分支的发展。

注：郭汾阳即郭子仪，唐朝平叛安史之乱的大将，后封为汾阳王。