良序化定理、弗雷格原理、蒙塔古语法

良序化定理（ well-ordering theorem）亦称“整序”。一种非常重要的序关系。设（x≤）是全序集，如果x的任一非空子集u总有最小元素，则x称为一个良序集，≤称为良序关系。由于良序集x的任一非空子集u必有最小元素，因此u必有极小元素，所以良序集既是全序集又是基序集。良序关系是建立序数理论的基础，因而也是研究集合分层理论与基数理论的必要前提。良序集具有非常整齐的结构，任何两个良序集或者彼此序同构；或者其中之一序同构于另一个的某一截段，即小于某一元素的一切元素所成之集。良序化定理可以表述为：“每一个集合都可以通过赋予一种次序，使之成为良序集。”良序化定理作为选择公理的一个等价命题，是集合论中的一个重要定理。

弗雷格原理（ Frege's principle）命题逻辑中的一个原理。指复合语句的真值是成分语句真值的函数。在讨论逻辑联结词时，可以看到一个特点，对简单语句给予任一真值的组合时，真值联结词的选择就完全决定了复合语句的真值。当把真值作为语句的外延时，以上也可以表述成：整体的外延是部分的外延的函数。尽管对弗雷格实际上是否精确地表述了这个原理，人们还有某些疑虑，但一般还是把它称为弗雷格原理。

蒙塔古语法（ Montague grammer）关于自然语言的一种形式化的语义理论。将语言表达式的内涵作了形式处理，使得成为一个函项。这样内涵和外延一样也遵循弗雷格原理。引进语义（外延、内涵）类型和语法范畴，使得它们同构。这一理论，是逻辑学家蒙塔古（ Richard Montague）在1950年到1970年间发表的一系列论述语言表达式和内涵之间的关系的论文中提出的。他把元数学应用于自然语言的语形、语义、语用方面研究，从而取得的这一成果。后人称之为蒙塔古语法。与普通逻辑使用日常语言研究内涵、并主要限于概念有所不同，蒙塔古语法研究内涵时，使用的是形式化方法，它把内涵处理成一个函项，并且还把仅对概念的内涵的研究推广到对一般语言表达式内涵的研究。认为个体表达式（词项）的内涵是个体概念，是从可能世界到个体表达式在该可能世界的外延（个体）的函项；谓词表达式的内涵是属性，是从可能世界到谓词表达式在该可能世界的外延（个体类）的函项；语句表达式的内涵是命题，是从可能世界到语句表达式在该可能世界的外延（真值）的函项。这样，一般语言表达式的内涵都被处理成了一个函项，此函项的定义域（主目的变程）是可能世界，值是外延。结果使形式地研究内涵有了可能。蒙塔古语法把语言表达式的内涵处理成了函项，并且符合于推广了的弗雷格原理。即从语句推广到一般表达式；从外延推广到内涵。蒙塔古语法不仅将语义的外延和内涵两方面统一起来，而且还通过引进语法范畴、语义类型（外延类型与内涵类型），建立起它们之间的对应关系使得一般语言表达式，语法方面的结构和语义（外延和内涵）方面的结构一致起来。这也就是所谓的语法和语义同构。

以上内容来自《英语思维》（石海浪著）课堂学习笔记