此题是圆的计算题,求面积最大值和线段长,构造特殊三角形是关键

例题:(初中数学综合题)如图,已知AC是半径为2的⊙O的一条弦,且AC=2√3,点B是⊙O上不与A、C重合的一个动点,

(1)计算△ABC的面积的最大值;

(2)当点B在优弧AC上,∠BAC>∠ACB时,若∠ABC的平分线交AC于D,且OD⊥BD,求线段AD的长.

知识回顾

垂径定理:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。

推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。

推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧。

推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。

分析:(1)如图1所示,当点B在优弧AC的中点时,AC边上的高最大,△ABC的面积的也最大,连接AB,BC,OB,延长BO交AC于H.根据圆的对称性,得到BH⊥AC,AH=HC,再根据勾股定理求出OH的长,进而求出BH即可解决问题.

(2)如图2所示,延长BD交⊙O于E,连结OE交AC于F,连结OC.通过计算线段长度OF=1,EF=1,证明△ODF是等腰直角三角形,求出DF即可解决问题.

请大家注意,想要正确解答一道数学题,必须先将大体思路弄清楚。下面,我们就按照以上思路来解答此题吧!

解答:(以下过程可以部分调整)

(1)如图1,当点B在优弧AC的中点时,AC边上的高最大,此时△ABC的面积的最大,

连接AB,BC,OB,延长BO交AC于H.

∵弧AB=弧BC,BO是半径,

∴BH⊥AC,AH=HC,(根据圆的对称性)

∵AC=2√3,

∴AH=HC=√3,

∵在Rt△AOH中,OH^2=OA^2-AH^2,

∴OH=1,

∴BH=OB+OH=2+1=3,

∴△ABC的最大面积

=1/2×AC×BH

=1/2×2√3×3

=3√3.

(2)如图2,延长BD交⊙O于E,连接OE交AC于F,连接OC.

∵BD平分∠ABC,

∴∠ABE=∠EBC,

∴E为弧AC中点,

∴OE⊥AC,(垂径定理)

∴AF=CF=√3,

∵在Rt△COF中,OF^2=OC^2-CF^2,OC=2,

∴OF=1,EF=1,

∴DF垂直平分OE,

∴OD=DE,

又∵OD⊥BD,

∴△ODE是等腰直角三角形,

∴DF=1/2OE=1,

∴AD=AF-DF=√3-1.

(完毕)

这道题属于综合题,考查了垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识,解题的关键是会添加常用辅助线,并构造特殊三角形解决问题。温馨提示:朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法,欢迎大家留言讨论。

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