此题是圆的计算题，求面积最大值和线段长，构造特殊三角形是关键

例题：（初中数学综合题）如图，已知AC是半径为2的⊙O的一条弦，且AC=2√3，点B是⊙O上不与A、C重合的一个动点，

（1）计算△ABC的面积的最大值；

（2）当点B在优弧AC上，∠BAC＞∠ACB时，若∠ABC的平分线交AC于D，且OD⊥BD，求线段AD的长．

知识回顾

垂径定理:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。

推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。

推论二:弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。

推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。

分析：（1）如图1所示，当点B在优弧AC的中点时，AC边上的高最大，△ABC的面积的也最大，连接AB，BC，OB，延长BO交AC于H．根据圆的对称性，得到BH⊥AC，AH=HC，再根据勾股定理求出OH的长，进而求出BH即可解决问题．

（2）如图2所示，延长BD交⊙O于E，连结OE交AC于F，连结OC．通过计算线段长度OF=1，EF=1，证明△ODF是等腰直角三角形，求出DF即可解决问题．

请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面，我们就按照以上思路来解答此题吧！

解答：（以下过程可以部分调整）

（1）如图1，当点B在优弧AC的中点时，AC边上的高最大，此时△ABC的面积的最大，

连接AB，BC，OB，延长BO交AC于H．

∵弧AB=弧BC，BO是半径，

∴BH⊥AC，AH=HC，（根据圆的对称性）

∵AC=2√3，

∴AH=HC=√3，

∵在Rt△AOH中，OH^2=OA^2-AH^2，

∴OH=1，

∴BH=OB+OH=2+1=3，

∴△ABC的最大面积

=1/2×AC×BH

=1/2×2√3×3

=3√3．

（2）如图2，延长BD交⊙O于E，连接OE交AC于F，连接OC．

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABE=∠EBC，

∴E为弧AC中点，

∴OE⊥AC，（垂径定理）

∴AF=CF=√3，

∵在Rt△COF中，OF^2=OC^2-CF^2，OC=2，

∴OF=1，EF=1，

∴DF垂直平分OE，

∴OD=DE，

又∵OD⊥BD，

∴△ODE是等腰直角三角形，

∴DF=1/2OE=1，

∴AD=AF-DF=√3-1．

（完毕）

这道题属于综合题，考查了垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是会添加常用辅助线，并构造特殊三角形解决问题。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。