解方程（九）

甬上煌言

做最好的数学教育公众号——从小学到研究生。

来都来了，敬请关注“甬上煌言”，或者直接搜doubimather，逗逼数学人。

更加欢迎置顶。

之前讲了那么多关于因式分解的内容，今天我们就解封这柄神兵利器，看看它在解方程中的作用吧！

例1

已知关于x的方程

有两个实根相等，求a的值。

我们当然可以按部就班，直接展开，然后

得到一个一元四次方程，然后对左边进行因式分解。

这是一条正确的路，但不是最好的路。

贼老师

我始终强调，没有办法的情况下，硬算是一条好路；但是平时还是要尽量多的去掌握一些办法，硬算，是没有办法的办法。

应试，很多时候要靠平时的积累。你平时题目都会做并不见得考试一定好，因为考试需要的是速度，而不是单单只是一个正确的结果。一定要学会在短时间内找到最好的解法，如果找不到，就要以最快的速度决定用笨办法。

在这个例子里，我的思路就是分解一元四次多项式是很痛苦的事情，何况这还是二元的情况？所以应该是有简便的方法。

这里介绍一个常用的技巧：

在整个中学的学习过程中，

是个很有意思的函数：教材上不会有这个函数，但是考试的时候特别喜欢考。尤其是高中的学习，涉及到函数求最大值最小值或者不等式放缩等等，能出出各种花样来。

但是书上就是不介绍，全靠课外老师补充。

我现在就告诉你们，这个很重要，特别地，

这个函数以后我会仔细讲的。

在多项式变形的各种题目中，含有

项的处理也是一项基本技能。

在本题中，

所以我们很自然地选用换元法来看看。

设

我们把

展开，得到

我们可以再配方一次，得到

问题不就解决了？

贼老师

此时，方程变成了

即：

题目的要求是方程有两个相等的实根，因此，我们分别对两种情况下分别计算判别式，

解得a=1；

解得a=9/4.

看会了？

好，我们再来一个。

贼老师

例2

解方程：

了解我的家长知道，老贼一定要用化归了。

是啊，一元四次方程学过没有？没有。

而且一元四次方程的公式法极其复杂，从头写到尾估计我所有的粉丝都能睡过去。。。真的，有兴趣可以去搜一搜，全套解法估计一个高考作文都拦不住，加上公式啥的得五六页纸。

怎么可能拿这样的题目来考一个初中生呢？

所以笨办法你都不会，那就只剩下巧办法了。

做数学题做出破案的感觉：把那些不可能的情况去掉，剩下的甭管多么离谱多么古怪，那也必然是事情的真相。

方程的最高是四次，所以一定不可能用一元一次方程的理论来解；二元一次也肯定不对，那么必然是一元二次方程的方法。

最高是四次，怎么变成二次？

我们

方程变成

这个题目是不是就已经做完了？没错，我们可以设

上式变成

剩下的就很简单啦。

当然，我们也可以用因式分解里的试根法进行分解，但是问题是：这个方程四个根恰好是有理根，如果这个方程四个都是无理根，那么这个试根法就失效了。

不过两边同除以x^2 再配方的方法仍然有效。

比如我们可以试试方程：

分别比较试根法和配方法，你会发现配方法真好用。

当然，这种配方法的前提要注意：系数呈现高度的对称性。

是不是又学到了一招？！

贼老师

下课！

关注贼老师

好好学习

天天向上