中考数学压轴题分析：线段与角的倍比关系

比例常常想到相似，中点则考虑中线或中位线。

本篇内容选自2020年大连中考数学试卷的倒数第2题，难度中等偏上。

过程不难，主要是如何对条件与结论进行转化，不容易想到。

具体来看题目吧！

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【中考真题】

（2020·大连）如图1，△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，BE＝CE，点G在线段CD上，CG＝CA，GF＝DE，∠AFG＝∠CDE．

（1）填空：与∠CAG相等的角是___；
（2）用等式表示线段AD与BD的数量关系，并证明；
（3）若∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠ACD（如图2），求的值．
【分析】

题（1）问相等的角，比较直接，利用等边对等角即可得到结论。

题（2）用等式表示线段的关系，我们需要找到AD与BD这两条线段。然后可以用尺子量一量，猜测它们之间的结论。估计是倍半的关系。

由于E是BC的中点，因此可以从中点入手。取DC的中点M，连接EM与AM，如下图所示。

但是这样并不能直接得到结论。

所以可以变换描述方式，可以说是过点A作AM∥DE，那么就可以证明△AGM≌△GAF，得到AM=GF=DE，也就是说AM与DE平行且相等，就可以得到AD与EM平行且相等，那么根据相似可以得到EM为BD的一半，则结论可以得到。

题（3）要求比值，则考虑用三角函数或者相似。有了题（2）的结论，则可以在它的基础上面构造辅助线。取AB的中点N，连接NE，那么可以得到NE为△ABC的中位线。

根据比例关系，易得两个绿色的三角形是相似的。然后又可以得到下面的△CDE∽△CBD，可以得到比例关系。

设DN=1，NE=x，表示出DE，CD和BC，然后即可利用相似得到x的值，接着就可以得到结论了。

当然，还可以进行延长构造中位线，如下图所示，结论类似，异曲同工。

【答案】解：（1）∵CA＝CG，
∴∠CAG＝∠CGA，
（2）ADBD，理由如下：
如图，在CG上取点M，使GM＝AF，连接AM，EM，
∵∠CAG＝∠CGA，AG＝GA，
∴△AGM≌△GAF（SAS），
∴AM＝GF，∠AFG＝∠AMG，
∵GF＝DE，∠AFG＝∠CDE，
∴AM＝DE，∠AMG＝∠CDE，
∴AM∥DE，
∴四边形AMED为平行四边形，
∴AD＝EM，AD∥EM，
∵BE＝CE，即点E为BC中点，
∴ME为△BCD的中位线，
∴AD＝MEBD；

（3）延长BA至点N，使AD＝AN，连接CN，
∵∠BAC＝∠NAC＝90°，
∴AC垂直平分DN，
∴CD＝CN，
∴∠ACD＝∠ACN，
设∠ACD＝α＝∠ACN，则∠ABC＝2α，
则∠ANC＝90°﹣α，
∴∠BCN＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，
∴BN＝BC，即△BCN为等腰三角形，
设AD＝1，则AN＝1，BD＝2，
∴BC＝BN＝4，AB＝3，
∴AC，
∴．