重庆南开中学高2021届月考第12题：递推数列的综合问题

重庆·云师堂

怎样才能在半期考试中取得好成绩？

两条：①每天刷100道数学题；②每天不洗脸。

啊？不洗脸？？？

你看，我就知道你不会注意到第一条。

1  围观

一叶障目，抑或胸有成竹

递推数列在重庆较为新奇，在浙江却是家常便饭。

这类题动辄压轴，综合性强，难度大，思维要求高，备受命题者青睐。鉴于数列与函数之间有着密切的联系，相信未来这样的题目会比比皆是。

研究递推数列，最好的办法自然是求出通项公式（就像函数求解析式，概率求分布列一样）。很遗憾，大多数列都很难求出通项公式，甚至根本就求不出，所以不得不另辟蹊径。

下面介绍两种方法：①迭代放缩法；②不动点蛛网法。

2  套路

手足无措，抑或从容不迫

选项A不难判断，只需熟练掌握对数的运算即可。当然，也可直接估算，ln2≈0.7，很容易得出结论。

选项B，先判断函数的单调性，再迭代放缩即可得到结论。当然，取几个特殊值来判定也未必不可，尽管不严谨，但不影响得分。

选项C最简单，不费吹灰之力，前提是先判断选项B正确。

选项D相对是最难的，不妨先用分析法推理，再用综合法书写：

蛛网法是解决递推数列单调性与敛散性的有力工具，尤其适合小题。解题的关键在于准确作出特征函数的图象（包括单调性、极最值、凹凸性、不动点等）。

对于选项C，其判断与法1一致；而选项D，这里采用切线放缩，看似较之法1略胜一筹，实则本质一致。

3  脑洞

浮光掠影，抑或醍醐灌顶

1.函数的不动点：

2.数列的不动点：

4  操作

形同陌路，抑或一见如故