重庆市九龙坡区高2021级三诊第21题：三角形的面积之比

重庆·云师堂

按惯例，目前应当进入押题模式。

难道今年将不按套路出牌？

答对了。

是胆子变小了，还是江郎才尽？

谈不上胆，也无所谓才，只是想换个花样。全国卷中不乏试题在往年的地方卷中影影绰绰地瞥见影子（如：2020年全国1卷理科的第20题与2010年江苏卷的第18题；2019年全国2卷理科的第21题与2011年江苏卷的第18题；2018年全国1卷理科的第21题与2011年湖南卷文科的第22题……），所以今年打算拿地方卷开刀，以此窥视端倪。

1  围观

一叶障目，抑或胸有成竹

本题难么？

难。难在两点，一是无法准确表达面积的比值，二是表达面积的比值后无法直接转化为韦达定理。尤其是第二点，不乏英雄好汉在此败北。

不难。其实早在十年前，即2012年四川卷（见操作）的第21题已应时而生，不过全国卷中至今尚未出现，未来会是什么样子，我们拭目以待。

2  套路

手足无措，抑或从容不迫

设点与线，联立并化简——这步几乎能完成。接下来如何处理面积是解题的关键。

解析几何的工具是坐标，所以将面积表示为坐标间的关系是必由之路。很遗憾，这里面积的比值不同以往的对称形式，无法直接代入韦达定理，解题陷入绝境。无论如何，能做到这步的，配得上一个赞。

如果你一直在关注，一定知道我讲过“设而不求，整体代换”的思想。其实，我还讲过“设而求之，暴力计算”，本题恰恰适合这种。

接下来求面积之比已不再是解析几何的问题，而是函数的问题。分离常数，转化为函数的单调性即可求得结果。

暴力计算不是好方法，但可以江湖救急。能不能想到是素养问题，至于算不算得出是能力问题。

我知道，你不会甘心的，已经写出了韦达定理，怎么能随便放弃。

是的，我们不能轻言放弃，所以你还配得上四个字——勇气可嘉。

不知你是否还记得，我曾写过《非对称韦达定理问题》，里面就介绍了“构造对称形式”。有了这个基础，再来观摩此题，是不是瞬间了然了？换元再解元，既可利用判别式法求解，也可采用双勾函数的性质求解，这不是重点，所以轻描淡写。

处理面积，亦可采用【法1】的方式，这里无非是多给出一种，无关大碍。

3  脑洞

浮光掠影，抑或醍醐灌顶

本题脱胎于2012年高考的四川卷，难度略低于高考。因为四川卷考的是双曲线，其中还参杂着“一元二次方程的零点分布”。

你是意犹未尽，还是流连忘返？也许都不是，而是纠结于这个取值范围。

好，解析几何的问题暂且搁置一边，接下来我们对此做进一步探讨。

【法3】通过换元简化目标函数，再分离常数即可求得结果。【法3】与【法1】的思路一致，显然换元要高明得多。

【法4】需要观察能力，发现点（m，n）在双曲线上，于是利用双曲线的参数方程将目标转化为三角函数的有界性，进而求得取值范围。

还有其它方法么？

当然。方法何其多，只是我懒得写，况且太多未必是好事。上述方法皆是从代数的角度求解，本题还可利用几何意义转化为斜率求解，感兴趣的不妨尝试。

4  操作

形同陌路，抑或一见如故