导数的知识体系及拓展

一、引入

导数思想是由费马研究极值引入;牛顿从力学的角度思考:已知物体的运动规律求速度;莱布尼茨从几何角度引入:已知曲线,求它的切线。

1. 瞬时速度(物体直线运动,路程和时间的函数关系为 s (t ) )

物理中物质的比热,电流的强度等问题中,虽然背景不一样,但都可以归为

式的极限。更一般的即平均变化率和瞬时变化率。

2. 切线斜率

切线可以视为割线的极限。

二、定义

不同的角度:平均变化率,割线斜率;瞬时变化率,切线斜率。导数就是瞬时变化率,就是切线的斜率。

【分析】

三、导数的运算

(一) 基本初等函数的导数公式

由定义可以推导出基本初等函数的导数

(二)导数四则运算法则

(三)复合函数的求导法则

四、导数的应用

(一)求切线

(二)求单调区间、极值和最值

例 4.求下列函数的单调区间

【点评】求单调性,定义域优先。

【点评】不等式转化为函数的最值;二阶导数的意义:其正负可定一阶导函数的单调性。

(1)讨论 f (x)的单调性;

(2)是否存在 a,b,使得 f (x)在区间[0,1]的最小值为-1 且最大值为 1?若存在,求出 a,b的所有值;若不存在,说明理由.

五、深入思考

(一)以直代曲(切线放缩)

(二)近似的程度(马克劳林级数)

从近似程度来看,在 x = 0 附近,

近似程度更好。

从函数的类型来看,不等式的左边是指数函数,右边是多项式函数,意味着指数函数可以用多项式函数来表示。

在一定的条件下,基本初等函数都可以用多项式函数来逼近

(三)极值点的充分条件:稳定点在什么情况下是极值点

1.引入邻域,精准描述极值点和极值的概念

辨析稳定点和极值点。

2.极值点第二充分条件

3. 极值点的第三充分条件

(四)研究函数的性态

1.对称性

2.凹凸性

3.微分中值定理

4.指对数均值不等式:微分中值定理在指对数函数的应用

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