第29讲 典型例题与练习参考解答：定积分的元素法与几何应用
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第29讲：定积分的元素法与几何应用
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例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：计算由曲线及在第一象限所围成的图形的面积.
练习2：计算抛物线与直线所围图形的面积.
练习3：求椭圆所围成的图形的面积.
练习4：计算夹在两曲线与之间，并在直线 之下的那部分图形的面积.
练习5：计算阿基米德螺线 上相应于 从 到 的一段弧与极轴所围成的图形的面积.
练习6：求极坐标系下曲线与所围成图形的公共部分的面积.
练习7：一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面成角, 计算该平面截圆柱体所得立体体积 .
练习8：两个半径为的圆柱体中心轴垂直相交，求这两个圆柱体公共部分的体积.
练习9：计算由椭圆 所围成的平面图形绕 轴旋转一周所得旋转椭球体的体积.
练习10：求摆线 的一拱与 所围的图形分别绕轴，轴旋转而成的立体体积 .
练习11：试用柱壳法分别求摆线 的一拱与 所围的图形分别绕轴，轴旋转而成的立体体积 .
练习12：求圆形区域
绕轴旋转一周所得旋转体的体积.
练习13：计算曲线上相应于的一段弧的长度.
练习14：计算摆线 的一拱的长度.
练习15：计算阿基米德螺线 上相应于 从 到 的一段弧的长度.
练习16：求星形线 的全长.
练习17：设满足
为曲线 ， 的弧长为 ， 绕 轴旋转一周所形成的曲面的面积为 ，求 和 .
练习18： 为何值才能使 与 轴围成的面积等于 与 及 轴围成的面积.
练习19：求曲线 与 轴围成的封闭图形绕直线 旋转得的旋转体体积.
练习20：设平面图形 由与 所确定，求图形 绕直线 旋转一周所得旋转体的体积 .
【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
例题与练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：计算由曲线及在第一象限所围成的图形的面积.
【参考解答】：两曲线的交点为及. 图形如下：
【思路一】 视围成的区域为简单型区域，于是可得面积为
【思路二】 视围成的区域为简单型区域，于是可得面积为
练习2：计算抛物线与直线所围图形的面积.
【参考解答】：容易计算得到两曲线的交点为, . 图形如下：
【思路一】 选取 为积分变量，得
【思路二】 选取为积分变量，则由分割为两部分，得
【思路三】 用梯形的面积减去曲边梯形
的面积. 于是有
练习3：求椭圆所围成的图形的面积.
【参考解答】：根据图形的对称性，椭圆所围成的面积为椭圆在第一象限部分与两坐标轴所围面积 的4倍，即
利用椭圆的参数方程
应用定积分换元法，代入得
【注】当 时，就得到熟知的圆的面积公式 .
练习4：计算夹在两曲线与之间，并在直线 之下的那部分图形的面积.
【参考解答】：如下图，依据图形的对称性，
知所求面积等于第一象限内部分图形面积的2倍. 选取为积分变量，得
练习5：计算阿基米德螺线 上相应于 从 到 的一段弧与极轴所围成的图形的面积.
【参考解答】：所围图形为曲边扇形，如下图.
于是由极坐标系下的面积计算公式，得
练习6：求极坐标系下曲线与所围成图形的公共部分的面积.
【参考解答】：两曲线交点为和 ，如下图.
由于图形的对称性，因此有
练习7：一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面成角, 计算该平面截圆柱体所得立体体积 .
【参考解答】：建立坐标系如下面三个图形，对应三个思路.
【思路一】 以图中直径建立 轴(左图)，则可以计算得截面三角形的面积为
故立体的体积为
【思路二】 以图中半径建立轴(中图)，则可以计算得截面矩形的面积为
故立体的体积为
【思路三】 以图中半径建立 轴(右图)，则
所以截面部分的面积为
所以立体的体积为
练习8：两个半径为的圆柱体中心轴垂直相交，求这两个圆柱体公共部分的体积.
【参考解答】：由对称性，如下图，画出了该立体的部分.
过 轴上区间 内的任意一点 ，作垂直于 轴的横截面，该横截面为一个边长为 的正方形，其面积
从而所求立体的体积为
练习9：计算由椭圆 所围成的平面图形绕 轴旋转一周所得旋转椭球体的体积.
【参考解答】：【思路一】 旋转球体可看作由上半椭圆
与 轴所围区域绕 轴旋转一周而成的立体. 故
【思路二】 利用椭圆参数方程. 由对称性，第一象限内椭圆的参数方程为
故得体积为
【注】特别，当时，旋转椭球体就成了半径为 的球体体积为.
练习10：求摆线 的一拱与 所围的图形分别绕轴，轴旋转而成的立体体积 .
【参考解答】：绕轴旋转而成的体积为
绕轴旋转而成的体积为
练习11：试用柱壳法分别求摆线 的一拱与 所围的图形分别绕轴，轴旋转而成的立体体积 .
【参考解答】：绕轴旋转而成的体积为
练习12：求圆形区域
绕轴旋转一周所得旋转体的体积.
【参考解答】：如下图所示.
上半圆的方程为
下半圆的方程为
【思路一】 由旋转体体积计算公式，得
由于定积分在几何上表示圆周所围成的区域在第一象限内的面积，则
从而
【思路二】 由柱壳法， ，故得
【注】该旋转体的形状为一圆环胎，如下图所示. 其体积等于与 的乘积，相当于以半径为 的圆为底、高为 的圆柱体的体积，如下图.
计算结果也可以变形为
此式反映了环体微元的另一种取法，截面为横截面，高为圆弧.
练习13：计算曲线上相应于的一段弧的长度.
【参考解答】：由弧长计算公式，所求弧长为
练习14：计算摆线 的一拱的长度.
【参考解答】：由弧长计算公式，所求弧长为
练习15：计算阿基米德螺线 上相应于 从 到 的一段弧的长度.
【参考解答】：由弧长计算公式，所求弧长为
练习16：求星形线 的全长.
【参考解答】：根据对称性，星形线的参数方程为
于是曲线段的长度为
练习17：设满足
为曲线 ， 的弧长为 ， 绕 轴旋转一周所形成的曲面的面积为 ，求 和 .
【参考解答】：对等式两端求导，得
由弧长计算公式，得
故曲面的侧面积为
练习18： 为何值才能使 与 轴围成的面积等于 与 及 轴围成的面积.
【参考解答】： 与轴围成的面积为
当时，有
由，得
由图形对称性可知 , 也满足要求.
练习19：求曲线 与 轴围成的封闭图形绕直线 旋转得的旋转体体积.
【参考解答】： 由对称性，在第一象限区域函数为
练习20：设平面图形 由与 所确定，求图形 绕直线 旋转一周所得旋转体的体积 .
【参考解答】： 选取为积分变量，则旋转体体积为
若选取为积分变量，则