我变了？“我”没变！
中科院物理所
昨天 21:53
原创：中科院物理所
如何用对称性描述系统的临界变化？一个数学家团队证明了，在相变临界点，旋转不变性是许多物理系统的普遍属性。
近 50 年来，数学家们一直在寻找严格的方法来证明：在物理系统从一种状态转变到另一种状态的过程中，存在一种非同寻常的普适的强对称性。这个强大的对称性，被称为共形不变性，事实上是由三个独立对称性组成的。
在去年 12 月份发布的一篇文章中，这个数学团队的工作无比接近真实证明：当物理系统发生相变的时候，共形不变性是系统的必要特征。这个工作证明共形不变性中包含的三种对称之一：旋转不变性存在于各种物理系统状态的边界上。
以色列魏茨曼科学研究所的加迪·科兹马说：“这是一项重大的贡献，尤其针对这个悬而未决的问题。”
旋转不变性是圆表现出的对称性：将圆旋转任意角度，它看起来都一样。在物理系统处于相变边缘的情况下，这意味着无论系统模型如何旋转，系统的许多特性都表现相同。
早期的研究结果发现，在相变的研究中，旋转不变性适用于两个特定的模型，但由于方法的缺陷，证明方法无法灵活地应用于其他模型。现在新的证明打破了这个限制，从而首先证明了旋转不变性是一系列范围模型中的普适现象。
法国高等科学研究所（IHES）和日内瓦大学的雨果·杜米尼尔·科平说：“这个普适性的结果非常有趣，因为这代表着无论物理模型之间存在着多大差异，都会出现相同的模式。”
这个新的工作给大家带来了新的希望，数学家们可能正在接近一个更加伟大的结论：在相变中，这些物理模型是共形不变的。在过去的几十年，数学家们在一些特定的模型中证明了这一结论，虽然他们无比希望可以证明这个结论是普适的，但是没有证据证明这一点。这个新的证明为数学家们的设想奠定了基础。
日内瓦大学的斯坦尼斯拉夫·斯米尔诺夫说：“这已经是一个巨大的突破了，共形不变性现在看起来触手可及。”
魔术时刻
从一种状态转变到另一种状态是自然界中最令人着迷的事情之一。有些转变是突然的，比如说水加热成蒸气或者冷却成冰。其他的一些研究工作中，相变的边界是模糊的，过程是缓慢的。在相变的临界点，系统处于平衡状态，既不是过去的状态，也不是未来的状态。
数学家们试图将这种魔法时刻用简化的模型来形容。
比如说，当你加热铁的时候，会发生什么？超过一定温度后，它会失去磁性。当数以百万计的铁原子像小磁针一样随意翻转，跟周围原子的磁性不同。在大约五百多摄氏度时，热被释放完毕，磁体又退化为了一块金属。
数学家们用伊辛模型来研究这个过程。假设一块铁是一个二维的方格子，想象一张方格纸上的格子。伊辛模型是将铁原子放在格点的交点，并将其表示为向上向下的箭头。
伊辛模型
在 20 世纪 50 年代，伊辛模型作为表示临界点附近物理系统的工具而广泛应用，其研究的范围包括：金属失去磁性、空气中的气液转变、合金中的有序和无序。这些系统非常不一样，在微观上表现也完全不同。
在1970年，年轻的物理学家亚历山大·波利亚科夫预测：尽管这些系统存在明显的差异，但它们在临界点都表现出共形不变性。随后数十年的分析使物理学家确信波利亚科夫是正确的。但数学家们面临着一项艰巨的任务，即严格证明这个结论。
对称的对称性
共形不变性是由三种类型对称性合并成一种更广泛的对称性。对于一个物体，可以移动它（平移对称），将其旋转任意角度（旋转对称），或者改变它的尺寸（标度对称），这些操纵都不会改变它的角度。
法国高等科学研究所（IHES）和日内瓦大学的雨果·杜米尼尔·科平说：我愿称“共形不变性为统领一切的对称性”，因为它是一种综合的对称性，比其他三种对称性要强。
共形不变性在物理模型中以一种更微妙的方式表现。在伊辛模型中，当体系的磁性仍然完好无损且相变尚未发生时，代表磁性方向的箭头大部分以一种团簇的方式指向一个方向，还有一部分以小的团簇形式指向另一个方向。但在临界温度下，原子们之间的相互影响的距离比以前更远。突然，原子的排列变得不稳定：大小不同，箭头指向上或者下的团簇同时出现，磁性即将消失。
在临界点上，数学家们在很大的格点范围内观察这个模型，研究给定任意的一对箭头的相关性，即它们指向同一方向的可能性。在这些前提下，共形不变性指的是当平移、旋转或者缩放方格都不会破坏这些可能性。比如说：如果两个箭头有 50% 的几率指向同一方向，将共形不变性对应的三种对称作用到方格上，转换之后的方格上，占据同样位置的箭头也有 50% 的概率指向同一方向。
如果比对原始晶格和变换之后的晶格，将无法区分这两个晶格。重要的，相变之前的伊辛模型并不是这样的。如果将晶格上方角落的部分格点放大到与原始晶格相同的大小（相当于做一个标度变换），会增加一个指向的箭头的数量，从而可以清楚区别相变前后晶格的状态。
共形不变性有着直接的物理意义：它表明即使你调整物质的微观细节，系统的整体行为也不会改变。它还暗示了某种数学上的优雅，在经历了相变这个小小插曲之后，整个系统打破了它的总体形式，变成了完全不同的其他东西。
第一批证明
2001年，斯米尔诺夫提出了物理模型中第一个严格的共形不变性数学证明。它适用的模型是逾渗模型，即液体通过错综复杂的多孔介质，即像石头一样的迷宫。
斯米尔诺夫研究了三角晶格上的逾渗，在三角晶格中，水只允许流过“开放”的顶点。最初，水流通过每个顶点的概率相同。当概率较低时，存在一个路径，可使水贯通整个石头的可能性很低。
但是当你慢慢增加概率时，就会出现一个点，在这个点上有足够多的顶点是开放的，可以创建跨越石头的第一条路径。斯米尔诺夫证明，在临界阈值处，三角晶格是共形不变的，这意味着在任何共形变换下，都会发生逾渗。
这个过程简直可以称之为“魔法”，在其他过程中是找不着这种魔法的。
——斯坦尼斯拉夫·斯米尔诺夫 日内瓦大学
五年后，在 2006 年的国际数学家大会上，斯米尔诺夫再次在伊辛模型中证明了共形不变性。结合他 2001 年在逾渗模型中的证明，他获得了数学界的最高荣誉——菲尔兹奖。
那之后的几年里，一些其他的证明也在陆续出现，但都只针对特定的模型，没有人的证明能说明波利亚科夫所设想的普适性。
纽约大学阿布扎比校区的数学物理学家费德里科·卡米亚说：“之前的证明都基于一个特定的模型，他们都用了一个特殊的方法来证明一个特殊的模型。”
斯米尔诺夫本人也承认，他的两个证明都依赖于两个特定模型中的“魔法”，但这种“魔法”确实不是普适的。他说：“这种证明方法仅适用于特定的模型，而对其他的模型不再适用。”
因此，近段时间的证明打破了之前的僵局，证明了：旋转不变形，即共形不变性的核心特征广泛存在于所有的模型中。
一次证明一个
多米尼尔·科平在2010的前几年就开始思考共形不变性的普遍性证明，当时他还在日内瓦大学的斯米尔诺夫手下读研究生。他对导师的技巧的卓越以及局限性有着独特的理解。斯米尔诺夫绕过了分别证明所有三种对称性的需要，找到了一条建立共形不变性的直接途径——就像通往顶峰的捷径。
多米尼尔·科平说：“他（斯米尔诺夫）是一个卓越的问题解决者。在这个难题的高峰上他找到了入口，证明了两个统计模型的共形不变性。”
日内瓦大学、法国高级科学研究所的雨果·多米尼尔·科平和他的合作者正在采取一次解决一个对称性的方法来证明共形不变性的普遍性
研究生毕业后，杜米尼尔·科平一直致力寻找可以超越斯米尔诺夫的工作的证明。科平和他的合作者打算采取与斯米尔诺夫不同的方法，转而回到波利亚科夫和后来的物理学家提出的关于共形不变性的原始假设中去。
数学家们的证明分三个步骤，分别证明共形不变性的三种对称性：平移不变性、旋转不变性和标度不变性，然后就得到了共形不变性。
在这个思想下，他首先开始证明标度不变性，同时，认为旋转不变性是最难的证明的，平移不变性是最简单的，以至于不需要他们来证明。在实际尝试中，他们意识到在正方形和矩形网格上的各种逾渗模型的临界点存在旋转不变性。
他们采用了概率论中的耦合（coupling）的技术，可以直接比较方格点和旋转矩形格点的大尺度行为。通过结合数学另一个领域中可积性（integrability）的思想（主要研究进化系统中的隐藏结构），他们证明临界点的行为在模型中是相同的，进而建立旋转不变性。之后，他们证明了可以将结果拓展到其他的物理模型，耦合的思想也可以扩展到其他模型。
最终他们证明：旋转不变是已知的二维模型中一个大子集的普遍性质。他们认为，不同领域技术的交融与相互借鉴对共形不变性方面取得进一步进展是必要的。
杜米尼尔·科平说：“我认为在研究共形不变性和相变中，需要各种角度的切入，不能只从一个角度钻研。”
最后的步骤
从斯米尔诺夫 2001 年的研究以来，数学家们首次对证明共形不变性的普遍性这一长期挑战有了新的认识。与之前不同，这一结果为数学家们提供了新的途径。通过自下而上的原则，一次证明一个对称，最终证明整个共形不变性。
现在，解决了旋转不变性，杜米尼尔·科平和他的同事们将目光投向了标度不变性，这也是他们最初的目标。鉴于目前旋转对称性已被证明，平移不变不需要自己证明，标度不变性的证明将是共形不变性完全被证明的最后一点。同时，杜米尼尔·科平方法的灵活性使得研究人们对证明的过程保持乐观态度。
杜米尼尔·科平说：“用同样的方法证明标度不变性肯定会失败，如果不是我们，是比我们更加聪明的人，也会很快发现这一点。”证明旋转不变性用了五年的时间，所以下一个证明可能还需要一些时间。尽管如此，杜米尼尔·科平还是希望二维的共形不变性能最终实现。
斯米尔诺夫说：“这可能意味着一周，也可能意味着五年，但我比之前乐观多了。”
作者：Allison Whitten
翻译：Nuor
审校：Dannis
原文链接：
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-prove-symmetry-of-phase-transitions-20210708/