重庆市南开中学高2021届第五次月考第8题：构造函数

“八省联考”早已告一段落，然而恐惧没有丝毫消退，焦虑的情绪不知何处安放。

那就索性不放。该吃吃，该喝喝，该刷题继续刷题。

刷题或许不能治疗焦虑，但却可以暂时忘记。忘记，留一段空白给过去，留一片清净给自己。

“南开中学第五次月考数学”已经出炉，相较八省联考要温柔许多，但也并非一马平川，个别题依旧少不了料峭春寒。

1  围观

一叶障目，抑或胸有成竹

构造函数比较大小——自2020年高考全国卷（追溯历史，浙江卷要早得多）出现以来，诸如此类，模拟试卷便层出不穷。然而水准却是参差不齐，大多只注重了相似的结构，却忽略了内在的灵魂，画虎不成反类犬。

解这类题，无非是构造函数利用单调性进行比较，间或借助放缩（直接放缩、利用均值不等式放缩、利用切线放缩等）。但凡涉及到放缩，其难度便陡然上升，令不少人扼腕。

2  套路

手足无措，抑或从容不迫

首先，利用均值不等式放缩得到a的范围，即可排除AB两个选项。后续即便卡顿，也增大了猜中的可能性。遗憾的是，均值不等式没想到，想到的对数运算又不过关，总有一个理由让你与分数失之交臂。

其次，比较a与b的大小，不妨先假设a小于b，若推出矛盾，则否定假设。不负众望，矛盾出现，恰到好处。这里借助了指数函数的单调性，由于简单，就省略了构造函数。

法2，判断a的范围，先直接放缩，再利用均值不等式放缩。相较法1，法2的形式更优美，这是我所喜欢的。

接下来比较a与b的大小。构造函数，这是被诟病的地方——这个函数就像魔术师手中的兔子，不知从何而来。有了法1作为铺垫，这个函数便自然而然。

法3，记住一些常用的数据是有好处的，说不定就派上了用场。先估算a与b的值，这是我做题惯用的伎俩，屡试不爽。尽管看上去有点浮夸，不失为山穷水尽时的最后稻草。

法1最快捷，法2最优雅，法3最暴力，你选哪种？

3  脑洞

浮光掠影，抑或醍醐灌顶

4  操作

形同陌路，抑或一见如故