“边对角”的解题技巧（上）——求定值

在8月1日至5日的“数学行者”学习研讨中，常州特级教师于新华做了《边对角的解题技巧》讲座，虽然讲座中不少例题已经在网络上研讨多次，但其中还是有许多值得感悟的地方．现将其讲座内容重新整合，分为上下2部分，第一部分为求定值，第二部分为求最值．

【知识储备】

一．定弦定角必有圆

若三角形一边长度确定，该边所对角的度数确定，则该边所对顶点必在三角形外接圆上运动．(其运动轨迹为关于确定长度的边对称的两段弧，但不包括点A，点B)

思路：如图，∠ACB是AB所对的角，度数始终保持不变．则∠ACB可看作为圆周角，联想到构造这个三角形的外接圆，点C的轨迹即为圆上的一部分，弧．考虑到对称性，则是两段弧．钝角三角形同理．

二．弦长直径乘正弦

已知△ABC外接圆⊙O半径为r，则BC＝2r·sinA

思路：连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD，则∠D＝∠A，BC＝BD·sinD＝2r·sinA

无需涉及正弦定理，若∠A为钝角，则BC＝2r·sin(180°－∠A)

三．弧长要减二倍角

已知△ABC外接圆⊙O半径为r，则定角在运动过程中，顶点走过的路径为一段弧长，其所对圆心角度数是360度减去2倍的这个定角的度数．

【例题分析】

一．求定长

例1：如图，在边长为1的方格中，⊙O过点A，B等8个格点，连接格点BD交⊙O于点C，连接AC，则AC＝_________

例2：在平面直角坐标系中，已知点A(4，0)，B(－6，0)，点C是y轴正半轴上的一点，且∠BCA＝45°，则点C的坐标为_________

本题有十余种解法，类似题目详见：一题十一解 漂亮

例3：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，点D在AC边上，AD＝5，∠ABD＝45°，求AB的长．

二．求轨迹长

例1：（2017 · 威海改编）如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动的路径长为______．

送上动态效果加以验证：

例2：（2016 · 桂林）如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是________．

最后送上动态效果加以验证：

【总结反思】

对于一些涉及角度不变，边长不变的题，我们的目标就是运用那三句口诀，当然，有些题的定角并非一眼就能看出，如求路径长的2例，这就需要灵活分析，找到其中不变的角，一旦破解，皆是套路，不难矣！