(1条消息) m x n 网格中的最小路径和
在上一篇中，我们通过分析，顺利完成了“三角形最小路径和”的动态规划题解。在本节中，我们继续看一道相似题型，以求能完全掌握这种“路径和”的问题。话不多说，先看题目：
01、题目分析
| 第64题：最小路径和 |
|---|
| 给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。 |
说明：每次只能向下或者向右移动一步。
示例:
输入:[ [1,3,1], [1,5,1], [4,2,1]]输出: 7解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
这道题有一定难度哦！如果没有思路请回顾上一篇的学习内容！
不建议直接看题解！
02、题目图解
首先我们分析题目，要找的是 最小路径和， 这是个啥意思呢？假设我们有一个 m * n 的矩形 ：[[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
那从左上角到右下角的最小路径和，我们可以很容易看出就是 1-3-1-1-1 ，这一条路径，结果等于 7 。
题目明确了，我们继续进行分析。该题与上一道求三角形最小路径和一样，题目明显符合可以从子问题的最优解进行构建，所以我们考虑使用动态规划进行求解。首先，我们定义状态：
dp[i][j] : 表示包含第i行j列元素的最小路径和
同样，因为任何一条到达右下角的路径，都会经过 [0,0] 这个元素。所以我们需要对 dp[0][0] 进行初始化。
dp[0][0] = [0][0]位置所在的元素值
继续分析，根据题目给的条件，如果我们要求 dp[i][j] ，那么它一定是从自己的上方或者左边移动而来。如下图所示：
5，只能从3或者1移动而来2，只能从5或者4移动而来4，从1移动而来3，从1移动而来 （红色位置必须从蓝色位置移动而来）
进而我们得到状态转移方程：
dp[i][j] = min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]) + grid[i][j]
同样我们需要考虑两种特殊情况：
最上面一行，只能由左边移动而来（1-3-1）
最左边一列，只能由上面移动而来（1-1-4）
最后，因为我们的目标是从左上角走到右下角，整个网格的最小路径和其实就是包含右下角元素的最小路径和。即：
设：dp的长度为l 最终结果就是：dp[l-1][len(dp[l-1])-1]
综上我们就分析完了，我们总共进行了 4 步：
定义状态
总结状态转移方程
分析状态转移方程不能满足的特殊情况。
得到最终解
03、GO语言示例
根据以上分析，可以得到代码如下：
func minPathSum(grid [][]int) int {l := len(grid)if l < 1 {return 0}dp := make([][]int, l)for i, arr := range grid {dp[i] = make([]int, len(arr))}dp[0][0] = grid[0][0]for i := 0; i < l; i++ {for j := 0; j < len(grid[i]); j++ {if i == 0 && j != 0 {dp[i][j] = dp[i][j-1] + grid[i][j]} else if j == 0 && i != 0 {dp[i][j] = dp[i-1][j] + grid[i][j]} else if i !=0 && j != 0 {dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]}}}return dp[l-1][len(dp[l-1])-1]}func min(a, b int) int {if a > b {return b}return a}
运行结果：
同样，运行上面的代码，我们发现使用的内存过大。有没有什么办法可以压缩内存呢？通过观察我们发现，在我们自左上角到右下角计算各个节点的最小路径和的过程中，我们只需要使用到之前已经累积计算完毕的数据，并且不会再次访问之前的元素数据。绘制成图如下：(大家看这个过程像不像扫雷，其实如果大家研究扫雷外挂的话，就会发现在扫雷的核心算法中，就有一处颇为类似这种分析方法，这里就不深究了)
优化后的代码如下：
func minPathSum(grid [][]int) int {l := len(grid)if l < 1 {return 0}for i := 0; i < l; i++ {for j := 0; j < len(grid[i]); j++ {if i == 0 && j != 0 {grid[i][j] = grid[i][j-1] + grid[i][j]} else if j == 0 && i != 0 {grid[i][j] = grid[i-1][j] + grid[i][j]} else if i !=0 && j != 0 {grid[i][j] = min(grid[i-1][j], grid[i][j-1]) + grid[i][j]}}}return grid[l-1][len(grid[l-1])-1]}func min(a, b int) int {if a > b {return b}return a}
运行结果：
课后思考：路径和类问题和之前的子序列类问题有何区别？
我把我写的所有题解都整理成了一本电子书，每道题都配有完整图解。