常见几何最值问题模型归纳

常见几何最值模型

①如图，在直线上取一点P使得PA+PB最小。连接AB与直线交于点P即可。

异侧

②如图，在直线上取一点P使得PA+PB最小。作点B关于直线的对称点B′，连接AB′与直线交于点P即可。

同侧

③如图，在直线上取一点P使得|PA-PB|最大。连接AB并与直线交于点P即可。

同侧

④如图，在直线上取一点P使得|PA-PB|最大。作点B关于直线的对称点B′，连接AB′并与直线交于点P即可。

异侧

⑤点A在角的内容，在角的两边上分别取两个点M，N使得△AMN的周长最小。分别作点A关于角两边的对称点A′，A′′。连接A′A′′，并与角的两边分别交于点M，N即可。

⑥点A，B如图所示，在两条直线上分别取两个点P，Q使得AP+PQ+QB最小。连接AB并与两条直线分别交于点P，Q即可。

⑦点A，B如图所示，在两条直线上分别取两个点P，Q使得AP+PQ+QB最小。作点A的对称点A′，连接A′B并与两条直线分别交于点P，Q即可。

⑦点A，B如图所示，在两条直线上分别取两个点P，Q使得AP+PQ+QB最小。分别作点A，B的对称点A′，B′，连接A′B′并与两条直线分别交于点P，Q即可。

⑧第⑦种情况常见的变形。

⑨点A的位置如图所示，点B是水平直线上的一个动点，点P在另外一条直线上。如何确定点P与B的位置，使得AP+PB最小。

过点A作垂线段AB垂直于水平的直线，垂足为B，AB与另一直线的交点P即为所求。

⑩如图所示，第⑨种情况的变形。当点A位于两直线之间时，先作点A的对称点，再作垂线段即可。

(11)如图，点A，B位于直线的上方，点C，D在直线上且CD长度等于定值a。如何确定点C，D的位置使得AC+BD最小。

以ACD为边构造平行四边形ACDA′，并作点B的对称点B′，连接A′B′，与直线交于点D′即可确定CD的位置。

(12)如图，∠BOC=90°，△ABC的两个顶点B，C分别在OB和OC上，求OA的最大值。

取BC的中点M，分别连接OM，AM。当A，M，O三点共线时，OA最大。

(13)如图，点P是角的一边上的动点，如何确定点P的位置使得AP+OPsinθ最小。

以OP为边，构造∠POH=θ，过点A作AH⊥OH交角的一边为点P即可。

(14)如图，⊙O的半径r=1/3OA，如何在⊙O上取一点C使得1/3AC+BC最小。

在OA上取一点D，使得OD=1/3OC，连接BD交⊙O于点C即可。