《神奇的走马灯数》

          今天偶识142857，这个数字是那么神奇无比。囫囵吞枣之后，一头雾水。我觉得，抽像思维是一片安静的海，貌似无奇，实则暗流涌动，你只能深入思考，由此及彼，层层剥离见到那一股最冲动的激流。

        好奇的心，遂顺手发号，与友共享。

         142857，又名走马灯数。它发现于埃及金字塔内，是一组神奇的数字，它证明一星期有7天，它自我累加一次，就由它的6个数字，依顺序轮值一次，到了第7天，它们就放假，由999999去代班，数字越加越大，每超过一星期轮回，每个数字需要分身一次，你不需要计算机，只要知道它的分身方法，就可以知道继续累加的答案，它还有更神奇的地方等待你去发掘！

         把142857拆分，单数和都是“9”。

       （142857=3×3×3×11×13×37）

         这个看似平凡的数字，为什么说它最神奇呢？

         我们把它从1乘到10看看，

         142857 × 1 = 142857 1*7=7

          142857 × 2 = 285714 2*7=14

           142857 × 3 = 428571 3*7=21

            142857 × 4 = 571428 4*7=28

            142857 × 5 = 714285 5*7=35

             142857 × 6 = 857142 6*7=42

             142857 × 7 = 999999 7*7=49

              142857 × 8 = 1142856 8*7=56

              142857 × 9 = 1285713 9*7=63

              142857 × 10 = 1428570 10*7=70

        规律：1-6同样的数字，只是调换了位置，反复的出现。

       1-6的结果，横竖都有（142857）没有0369 神奇吧。有点像“数独”不过是没有0369的数独。

        乘以7我们会惊人的发现是999999,9+9+9+9+9+9=54（5+4=9）

         而142 + 857 = 999　14 + 28 + 57 = 99　1+4+2+8+5+7=27（2+7=9）

          最后，我们用142857乘以142857答案是：20408122449

          20408122449的前五位+上后六位的得数是多少呢？

          20408 + 122449 = 142857

          那么把它继续乘下去会发生什么呢？

           142857 × 8 = 1142856 1+142856= 142857

          142857 × 9 = 12857131+285713= 285714

           142857 ×10= 1428570 1+428570= 428571

           142857 ×11= 1571427 1+571427= 571428

             142857 ×12= 1714284                    1+714284=714285

142857 ×13= 1857141 1+857141=857142

142857 ×14= 19999981+999998= 999999

142857 ×15= 2142855 2+142855= 142857

142857 ×16= 2285712 2+285712= 285714

142857 ×17=2428569 2+428569= 428571

..............

我们发现，其实142857不管乘以几所得出来的数前后相加总能得到由1.4.2.8.5.7这几个数按一定的顺序组成的数字。

再来看看除法：

142857 ÷7= 20408.142857142857142857142857....

285714 ÷7= 40816.285714285714285714285714285714..

428571 ÷7= 61224.428571428571428571428571428571..

571428 ÷7= 81632.571428571428571428571428....

714285 ÷7=102040.714285714285714285714285...

857142 ÷7=122448.857142857142857142...

1÷7=0.142857142857...

2÷7=0.2857142857142857...

3÷7=0.42857142857142857...

4÷7=0.57142857142857...

5÷7=0.7142857142857...

6÷7=0.857142857142857...

142857÷2=71428.5

142857÷5=28571.4

857×857=734449 142×142=20164

734449-20164=714285

还有142857乘以含7的任意数字，算出来的结果的各个数字之和等于36（除77、147、217、287、357......被7整除的外和107、177、207、247、277、307、317、347、377、387......等数值），如：

142857×17=2428569 2+4+2+8+5+6+9=36

142857×27=3857139 3+8+5+7+1+3+9=36

142857×37=5285709 5+2+8+5+7+0+9=36

142857×47=6714279 6+7+1+4+2+7+9=36

......

神奇的解答

142857×1=142857（原数字）

142857×2=285714（轮值）

142857×3=428571（轮值）

142857×4=571428（轮值）

142857×5=714285（轮值）

142857×6=857142（轮值）

142857×7=999999（放假由9代班）

7×（1~6）的积的个位排在末尾　7×7=49，积是6个9

142857×8=1142856（7分身，即分为头一个数字1与尾数6，数列内少了7）

142857×9=1285713（4分身）

142857×10=1428570（1分身）

142857×11=1571427（8分身）

142857×12=1714284（5分身）

142857×13=1857141（2分身）

142857×14=1999998（9也需要分身变大）

7×（8~14）的个位的积的个位+1就是需要变化的数

以上各数的单数和都是“9”。有可能藏着一个大秘密哦!

继续算下去……

142857除以7小数部分可以得到142857142857142857142857无限循环小数

把142857拆成14+28 +57 =99 ; 142+857=999; 1+4+2+8+5+7=27，2+7=9；您瞧瞧，它们的单数和竟然都是“9”。依此类推，上面各个神秘数，它们的单数和都是“9”(如142857可以挑出三段写成1+8 4+5 2+7 这都等于9)且它的双数和为27还是3的三次方.

而把142857拆成如 1+4+2+8+5+7 或 14+2+85+7 或 14285+7等等任意的组合（相邻数字随意组合） 所得结果都是9的倍数。

而当乘数超过了7*9=63时(如64)单数和不再是27(3*9)而是36(4*9).142857的分身规律到了这里就不复存在了. 直到142857*(7*14)=100999899才恢复了规律. [附:142857*7*14=13999986 单数和为54(6*9)]很明显在这里出现了规律的"断层"但至此以后这种"断层"将不会出现。]

那142857是怎么来的呢，我们在继续计算：

9÷7=1.2857142857142857142857142857......

99÷7=14.142857142857142857142857142857......

999÷7=142.7142857142857142857142857......

9999÷7=1428.42857142857142857142857142857......

99999÷7=14285.57142857142857142857142857......

999999÷7=142857

好了，142857整数出现了，那我们继续......

9999999÷7=1428571.2857142857142857142857142857......

99999999÷7=14285714.142857142857142857142857......

999999999÷7=142857142.7142857142857142857142857......

9999999999÷7=1428571428.42857142857142857142857142857......

99999999999÷7=14285714285.57142857142857142857142857......

999999999999÷7=142857142857 (12个9，和6个9一样得到的是整数）

9999999999999÷7=1428571428571.2857142857142857142857142857......

13个9，小数点后的数字和9÷7相同）

99999999999999÷7=14285714285714.142857142857142857142857......

14个9，小数点后的数字和999÷7相同）

.

如此循环，18个9除以7等于多少呢？等于142857142857142857——三组“142857”，24个9除以7呢？是142857142857142857142857——四组“142857”.......

还有呢：

1÷7=0.14285714285714285

2÷7=0.2857142857142857

3÷7=0.42857142857142854

4÷7=0.5714285714285714

5÷7=0.7142857142857143

6÷7=0.8571428571428571

8÷7=1.1428571428571428

……

……

……

14÷7=2

28÷7=4

57÷7=8.142857142857.......

142857×142857 = 20408122449，20408+122449=142857

20408122449×2 = 40816244898， 40816+244898=285714=142857×2

20408122449×3 = 61224367347， 61224+367347=428571=142857×3

20408122449×4 = 81632489796， 81632+489796=571428=142857×4

20408122449×5 = 102040612245， 102040+612245=714285=142857×5

20408122449×6 = 122448734694， 122448+734694=857142=142857×6

20408122449×7 = 142856857143， 142856+857143=999999=142857×7

20408122449×8 = 163264979592， 163264+979592=1142856，1+142856=142857

20408122449×9 = 183673102041， 183673+102041=285714=142857×2

20408122449×10 = 204081224490， 204081+224490=428571=142857×3

20408122449×11 = 224489346939， 224489+346939=571428=142857×4

..... 后面还有

而这个数是如何得来的呢，大家可以试一下，只要用1除以7就可以发现0.142857142857142857……

前面说到的142857，其实根本不神奇。

你 看:1÷7=0.142857142857142857142857.....

1÷7这个分数化成小数，是一个无限循环小数，它的循环节就是142857，那它跟7一定有关系。我们计算一下2÷7、3÷7....的循环节是多少，和所谓的“轮值”又有什么关系。

至于142857×7=999999，实际上，1/7×7≈0.142857……*7=0.999999.....他们之间的关系不言而喻。

能被7整除的自然数的个数

10以内 1个

100以内 14个

1000以内 142个

10000以内 1428个

100000以内 14285个

1000000以内 142857个

10000000以内 1428571个

......

数字的拆分

142857142857142857142857拆分。

7×2=14

14×2=28

28×2=56

56×2=112

112×2=224

224×2=448

448×2=896

896×2=1792

1792×2=3584

3584×2=7168

7168×2=14336

这样的一组数字。暂时得到这样的数字。

这样排列他们

14285714285714285714

14

28

56

112

224

更多

这个数字表格显示出来，发现142857这个数字循环可以用某种2n次方的数字乘以7的组合加成获得。

142857×7=999999



142857

证明

这些数以的序列排列并除以得，即.

累加轮转

142857自我累加

142857+142857=285714

285714+142857=428571

428571+142857=571428

571428+142857=714285

714285+142857=857142

等式右边均为142857数字的轮转。

②再加翻车

857142+142857=999999

③拆和翻车

把上边6个数分别拆解求和

142+857=999

285+714=999

428+571=999

571+428=999

714+285=999

857+142=999

④平方拆和



换一种方式，先平方，再拆解求和平方拆分后再加起来，又回到了142857的倍数。

原理

轮转原理

把逐次乘10，则小数点逐次右移：



两边取小于1的部分，得：



其中 ri为 10模7的余。

由于循环节长为6，所以中间6个数互不相等，且小数前6位由142857轮转得到。与右边算式的小数前6位比较：左边代表轮转数，右边代表累加数，于是得到轮转原理。（右边算式中，省略部分乘ri不会进1。）

循环节恰好为m-1，在这里起了关键作用。

142857性质总表

走马

轮值（1-7）

代班（8-14）

9原理

平方原理

数字组合

累加轮转（1）自我累加（2）再加翻车（3）拆和翻车（3）平方拆和

其他研究

经过研究发现，并不仅仅7存在这样的神奇效果。

         看了这么多，还是不明白。

          我自己觉得，这个神奇的数字，就像是一个沉思者站在悬崖边上凝望142857。

         它是一朵漂亮的彼岸花，它在对着你笑，笑出一种境界：孤独，并不哀伤。