三定一动，玩转三角形全等新高度

知识预备点1(静态条件下)：如图1，是4×4的正方形网络，方格纸中△ABC的3个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上，这样的三角形叫格点三角形，如果以点D为另一个顶点作位置不同的格点△ABD，使所作的格点三角形与△ABC全等(不含△ABC)，那么，这样的格点三角形最多可以画出3个.

分析 这种三角形全等构造属于“三定(点A、点B、点C)一动(点D)”．由于△ABC融于网格之中，直观、一目了然，所以易画出满足题意的三角形．笔者把图2称之为“镜面对称全等”型，图3称之为“角平分线全等”型，图4称之为“中心对称全等”型.

图1

图2

图3

图4

知识预备点2(动态条件下)：如图5，在平面直角坐标系中，直线

与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．若点C(4.8，0)，在△ABC的边AB上取两点P、Q，使得△OQP与△OCP全等，且这两个三角形在OP的异侧.

图5

图6

分析 这种三角形全等构造属于“两定(点O、点C)两动(点P、点Q)”，显然难度比前者增大．由题意知，因为点C(4.8，0)，即OC是定长，所以△OQP中的点Q或点P必在以O为圆心，OC长为半径的圆上.这样要使以O、P、Q为顶点的三角形与△OCP全等，且这两个三角形在OP的异侧，则只存在两种情况:即OC=OQ或OC=PQ，但后者不满足题意，然后再作∠COQ的角平分线确定P点(如图6所示)．

显然这种作图的思路是：先定圆，再定点，再作角平分线定另一个点，故把此方法称之为“3定全等” 型．这其实就是把图3的作图方式放在坐标系的背景下而已，而这种构图方式恰恰是解决一些坐标系下全等型问题的有效途径，需要学生在平时的学习中慢慢积累、体会，逐渐成为自己的解题利器.

典题举隅

例1 (2018年嵊州市中考适应卷)定义：若四边形的一条对角线把它分成两个全等的三角形，则称这个四边形为等角四边形，并且称这条对角线为这个四边形的等分线．显然矩形是等角四边形，两条对角线都是它的等分线.

(1)如图网格中存在一个△ABC，请在图7，图8中分别找一个点D，并连结AD、BD，使得四边形ADBC是以AB为等分线的等角四边形．

图7

图8

图9

(2)已知，如图9，在平面直角坐标系中，直线

与x轴相交于点A(8，0)，与y轴相交于点B.

①求m的值.

②若点C的坐标为(5，0)，点P、点Q是△OAB边上的两个动点．当四边形OCPQ是以OP为等分线的等角四边形时，求BQ的长.

解析 (1)此问其实属于“三定一动”型的全等构造，可参见图3、图4，图略.

(2)①把A(8，0)代入

可得m=6.

②此问属于“两定两动”型的全等构造，我们应分两种情况讨论：

图10

当点Q在OB上时，有两种情形：若OQ=5，由“3定全等”型的作图方法，如图10的四边形OCPQ显然满足题意，此时BQ=OB-OQ=6-5=1；若四边形OCPQ是矩形时，由“中心对称全等”型的作图方法构图，显然如图11也满足题意．由△APC∽△ABO，易求

进而可得

所以

图11

图12

图13

当点P、Q两点都在AB上，有两种情形：由“3定全等”型的作图方法，画出如图12、图13的情形，显然四边形OCPQ都满足题意，此时过O作AB的高OH，则易求OH=4.8， BH=3.6，进而求得QH=1.4，所以在图12中的BQ=BH-QH=3.6-1.4=2.2，如图13中的BQ=BH+QH=3.6+1.4=5.

综上所知，满足题意的BQ长有BQ=1或BQ=3.75或BQ=2.2或BQ=5.

评注 第(2)小题的第②问，关于“等角四边形”问题，根据约定，其实质是构造“三角形全等”问题．解答此题的关键是理解题意、领悟题意，再分层(点Q在OB上或点P、Q两点都在AB上)分类(再对每种情形尝试构图)，多面讨论，最终确定满足题意的图形．由此可见，借“图形”关联，明思维之道，用“模型”引路，逐步引导学生“由此向，及远方”．一旦悟透并掌握，这对于提高学生全面分析研究问题的能力大有裨益，真所谓“脑中有模型，心中有全等”，解法自然来.

图14(1)