2019年高考浙江卷解析几何压轴题的推广

2019年高考结束后，大家感觉今年数学题难度有所增加，而尤以浙江卷首当其冲。网上广为流传的说法是，最后一题连杭州二中奥赛教练北大数学系硕士阿里巴巴数学竞赛获奖者赵斌老师都望题兴叹、束手无策，只好以吃饭为借口来掩饰做不出来的尴尬。

这当然是无脑记者为博眼球而信口雌黄、造谣污蔑，赵斌老师也多次辟谣了，毕竟高考题目的难度是有限的，如果竞赛选手都无从下手，那让普通学生怎么活呀？不过造谣张张嘴，辟谣跑断腿。谣言永远比真相跑得快。有太多人都愿意相信自己希望相信的。

不过平心而论，浙江的高考数学题还是可圈可点，值得肯定的。本文主要希望研究其倒数第二题的解析几何压轴题，并尝试将其推广。

此题的题目为

参考答案

上述解答方法是经典而常见的联立方程，得到一元二次方程，利用韦达定理得到面积比的表达式，转化为函数最值，最后利用均值不等式得出答案。解法中规中距，合情合理，只是运算量稍大。

此方法是通性通法，可以解决一切与圆锥曲线有关的问题，本公众号前面也写了6篇利用此方法解决椭圆中相关问题的文章。

当然对于抛物线，此题有更简洁明了的方法。即设点法（本质为参数方程）

上述证法的好处是不用联立方程，当然最后得到的函数表达式貌离神合，结果殊途同归。

此题最精妙的地方在于面积作比时消去了一项，从而得到一个二次比二次的函数，最值很容易求出来，既可以换元用均值不等式，也可以用一元二次方程判别式，当然也可以用导数。整体而言，换元均值不等式相对较快。

做完此题一个自然的想法是本题是否能推广呢？

第一个尝试，是如果不给出p=1，能否有类似的结果呢？

当然还是如法炮制。

还是得到相同的表达式。

进一步，如果F不是定点呢？

依然如法炮制，发现依然是一样的！

通过上述过程可以发现其实本题是可以大大的进行推广的。

即如图，ABC为抛物线上三点且其重心G在X轴上，求三角形AFG与CGQ面积比值的最小值。

当然本题还可以尝试进一步将其推广到椭圆或者双曲线中，运算量会大很多，应该也会有一些有趣的结果。有兴趣的读者可以自行尝试。

综上所述，浙江卷的这道解析几何题目令人眼睛一亮，独树一帜，新颖独特，难度适中，具有很高的区分度，是一个难得的好题。与此构成鲜明对比的是，2019年高考数学全国卷的1，2，3的解析几何压轴题目却都是一些老生常谈的结构，陈陈相因的话题。相较而言就乏善可陈，就相形见绌、自惭形秽了。

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