三次数学危机和哥德尔不完备
人人都爱读有感觉的文字，最好是在纸上歌唱着，几乎要溢出作者才气的文字。人人都爱读浪漫的文字，最好是在心中舞蹈着，仿佛要抚摸读者灵魂的文字。但很遗憾，笔者没有这么善良，就是要走到浪漫的反面。本文注定要与众不同，因为今天的议题是数学。
数学是美的。一直被这个科目折磨的我，可不想认同这句话。他们说数学之美源于他的精严，没有一丝破绽，可谓完美典范。我呆呆地站在那里想要反驳，却想不出一句有见地的话。不过这是一个久远的故事，现在我有话说了。数学或许并没有那么“完美”。
知己知彼，百战不殆。我要看看那些数学的歌颂者到底是如何思考数学的。
1.
穿越到两千五百多年前，毕达哥拉斯的年代，我看到一座瑰丽的数学宝塔，而宝塔中看着最庄严的一层，便是万物皆数。具体的说，是万物皆有理数。
通俗讲，毕达哥拉斯学派认为对于任意两个长度，一定可以找到一个特殊的度量单位，使得他们的长度都为整数，尽管这个单位长度可能短到不可思议。在此基础上，可以使很多证明变得便利且易于理解。
比如要证明同高三角形的面积比等于底边边长之比，就可以先证明等底等高的三角形面积相等。之后对于任何两个等高的三角形，关于它们的底边，毕达哥拉斯学派相信可以找到一个特殊的长度，使得两底都是这个特殊长度的倍数。接下来他们只需要把两个三角形切割成许多个底边长为特殊长度的小三角形，就能很直观地证明两个三角形面积比等于底边比了。前提是万物真的皆数的话。
我这个数学很差的现代人也忍不住想讥讽他们，毕竟无理数的存在对我可是常识。正当我要嘲笑那群学者时，眼前出现了一个可爱的人，希帕索斯。他在思考正方形对角线的时候，终于发现了万物皆数的症结。对于正方形的对角线和它的边长，找到一个特殊的单位，使得对角线和边长的长度都是整数，是不可能的。
希帕索斯原本的证明方法无从得知，我猜或许用的是这类方法：我们首先考虑一个边长为a，对角线长为b的正方形。假设存在d>0，使得a，b均为d的整数倍。之后我们来考虑一个边长为(b-a)的正方形。它的对角线长度为(2a-b)。显然，这个正方形的边长和对角线长也是d的整数倍，但正方形的边长却比原来的一半还要短一点点。我们对新正方形如法炮制（把新正方形的边长和对角线长当做a'，b'），可以得到一个更小的，但是边长和对角线长仍是d的整数倍的正方形。这样一直继续下去，我们终能找到一个边长小于d的正方形，但是这个边长却是d的整数倍。多么尴尬的矛盾，但推论本身却没有问题。唯一的可能，只能出在存在长度d的假设上了。
这无疑是一个伟大的发现，但毕达哥拉斯本人却在畏惧他。他禁止对外公布这个击碎了无数原有证明（比如之前提到的同高三角形面积比等于底边边长比）的发现，然而可怜的希帕索斯还是说出去了。之后发生在希帕索斯身上的事我就不忍描述了。总之，曾经看起来完美无瑕的数学体系，却在不经意间被发现存有重大漏洞。
我闭上眼睛都能看到那些赞美数学之人的不屑表情：“万物皆数的漏洞，并不是数学的漏洞。数学早已经进步和发展了。数学是完美的。”不过既然曾经被认为无懈可击的体系有漏洞，那为何要对我们现在的体系如此自信呢？
2.
我本想从毕达哥拉斯的时代直接飞回现在，却下意识地在18世纪驻足。
微积分诞生于17世纪晚期，18世纪在数学史上似乎理应是一个令人激动的时期。但是我看到的数学，不要说完美典范，简直就是一片混乱。整个微积分所用的描述都飘渺到不可捉摸。“无穷小量到底是不是0？”“瞬时速度，瞬时何谈速度？”罗尔说：“微积分是巧妙的谬误集合。”至少在这个时期，这句话再贴切不过了。
然而还不等那些数学的信徒来站出来回护数学之美，我就看到波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利、威尔斯特拉斯、狄德金和康托等人，魔法般地令看似不可调和的混沌归于调和与统一。这一次，又是数学胜利了。（注：感兴趣的读者可以自行查阅第二次数学危机。）
3.
我仍不甘心，世上怎么可能存在绝对的完美？回到二十世纪初，听到了庞加莱的夸耀，“绝对的严密性已经达到”，我正要放弃向数学的挑战之时，便巧遇意外之喜。罗素为我代言：集合论自相矛盾，绝没有什么严密性！到底集合论，这个数学的基础是如何自相矛盾的呢？
我们来随便看一个集合吧，比如所有冰箱的集合。（小编看到这里是崩溃的…）这个集合当然没有什么问题。现在我们反过来考虑，所有不是冰箱的东西的集合。这个非冰箱之物的集合本身，自然不是冰箱，那么它理应也是这个集合的一个元素。于是，我们有了两类集合，一类是不包含自身的集合，另一类是包含自身的集合。
请读者们做好读绕口令的准备，我们的问题要来了。所有不包含自身的集合的集合，它到底包不包含自身呢？如果它包含自身，那么它就不是不包含自身的集合，所以也就不是所有不包含自身的集合的集合的元素。如果它不包含自身，那它理应是所有不包含自身的集合的集合的一个元素。这样的一个集合，包不包含自身，都必将引发矛盾。
这一次，问题大了。那些支持数学绝对严密的人，支支吾吾地搪塞：“只要不允许包含自身的集合存在，这也就谈不上是什么问题了。”他们似乎依然假装，只要在定义方面格外小心，选出一套完备且自洽的公理，一切真理都可以被证出，数学依旧是绝对严密，但是我透过他们眼中忧虑，看到他们的自信开始颤抖。
4.
又过了不久，哥德尔的一纸证明终于彻底将这个幻想推翻。
第一不完备性定理：“任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在至少一个命题：它在这个系统中既不能被证明也不能被证否。”这意味着什么呢？不管你如何选择公理，只要你的系统复杂到可以定义自然数，那么肯定会存在是真是假无从得知的命题。1+1=2就是对的，1+1=3就是错的。至少在通常意义上，这么武断的说是没有任何问题的。但是现在哥德尔证明了，一定存在任何人都无从判定的命题。
而哥德尔第二不完备定理或许更让有些人绝望吧：“如果一个形式系统含有初等数论，当该系统自洽（所有公理都不互相矛盾）时，它的自洽性不可能在该系统内证明。”换据说话，不管你如何选择公理，你连公理是否自洽，都无法证明！当然，你可以建立一个更强的系统，来证明这个较弱系统的自洽性，但是那个更强的系统又是否自洽呢？用一个不自洽的系统去做证明又有何意义呢？（注：对哥德尔不完备定理感兴趣且懂英文的读者请看这里：https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_incompleteness_theorems）
那些数学完美的拥护者面红耳赤，想要说些什么，我却抢先，得意地开口了：“请你们用完美的数学来证明一下数学的完美性吧，至少来证明一下，你们选用的公理系统不是自相矛盾吧！”
后记：
数学是美，无论是否完备。我写这句话并不是担心那些数学爱好者要来找我麻烦。在我心里，不完备不但无损数学的严密，反而使她带上一丝浪漫。有些数学命题不可判定，就像人的喜怒哀乐，难断是非。当一个公理系统表面上能自证自洽，只能说明它的非自洽，就像人的感情因缺乏逻辑而美好。说因缺乏逻辑而美好，是因为如果尽合逻辑，不但艺术无存身之地，人恐怕也会沦为机器。
数学就像一个可爱的少女，她有理智的时候，也有任性的时候。她可以条理清晰的讲述过往，也可以让你无从揣测她的心思。