译注《周髀算经》知地者智 知天者圣.
《周髀算经》赵爽(汉)著 甄鸾(北周)注
《周髀算经》是中国流传至今的最早的一部数学著作，同时也是一部天文学著作。
中国古代按所提出的宇宙模式的不同，在天文学上曾有三种学说。“盖天说”是其中之一，而《周髀算经》是“盖天说”的代表。这派学说主张：天象盖笠，地法覆盆（天空如斗笠，大地象翻扣的盆）。
据考证，现传本《周髀算经》大约成书于西汉时期（公元前1世纪）。南宋时传的刻本（1213）是目前传世的最早刻本。历代许多数学家都曾为此书作注，其中最著名的是唐李淳风等人所作的注。《周髀算经》还曾传入朝鲜和日本，在那里也有不少翻刻注释本行世。
从所包含的数学内容来看，书中主要讲述了学习数学的方法、用勾股定理来计算高深远近和比较复杂的分数计算等。
周髀算经卷上之一
昔者周公问于商高曰。窃闻乎大夫善数也。
请问古者包牺立周天歷度。
夫天不可阶而升。地不可得尺寸而度。
请问数安从出。
商高曰。数之法。出于圆方。
圆出于方。方出于矩。
矩出于九九八十一。
故折矩。
以為句。广三。
股修四。
径隅五。
既方其外。半之一矩。
环而共盘。得成三四五。
两矩共长二十有五。是谓积矩。
故禹之所以治天下者。此数之所生也。
周公曰。大哉言数。
请问用矩之道。
商高曰。平矩以正绳。
偃矩以望高。覆矩以测深。卧矩以知远。
环矩以為圆。合矩以為方。
方属地。圆属天。天圆地方。
方数為典。以方出圆。
笠以写天。
天青黑。地黄赤。天数之為笠也。青黑為表。丹黄為里。以象天地之位。
是故。知地者智。知天者圣。
智出于句。
句出于矩。
夫矩之于数。其裁制万物。惟所為耳。
周公曰。善哉。
周髀算经卷上之二
昔者。荣方问于陈子。
曰。今者窃闻夫子之道。
知日之高大。
光之所照。一日所行。远近之数。
人所望见。
四极之穷。
列星之宿。
天地之广袤。
夫子之道。皆能知之。其信有之乎。
陈子曰。然。
荣方曰。方虽不省。愿夫子幸而说之。
今若方者。可教此道耶。
陈子曰。然。
此皆算术之所及。
子之于算。足以知此矣。若诚累思之。
于是荣方归而思之。数日不能得。
复见陈子曰。方、思之不能得。敢请问之。陈子曰。思之未熟。
此亦望远起高之术。而子？能得。则子之於数。未能通类。
是智有所不及。而神有所穷。
夫道术、言约而用博者。智类之明。
问一类而以万事达者。谓之知道。
今子所学。
算数之术。是用智矣。而尚有所难。是子之智类单。
夫道术所以难通者。既学矣。患其不博。
既博矣。患其不习。
既习矣。患其不能知。
故同术相学。
同事相观。此列士之愚智。
贤不肖之所分。
是故能类以合类。此贤者业精习智之质也。
夫学同业而不能入神者。此不肖无智。而业不能精习。
是故算不能精习。吾岂以道隐子哉。固复熟思之。
荣方复归思之。数日不能得。复见陈子曰。方思之以精熟矣。智有所不及。而神有所穷。知不能得。愿终请说之。
陈子曰。复坐。吾语汝。于是荣方复坐而请陈子之说。曰夏至南万六千里。冬至南十三万五千里。
日中立竿测影。
此一者。天道之数。
周髀长八尺。夏至之日晷一尺六寸。
髀者。股也。正晷者。句也。
正南千里。句一尺五寸。正北千里。句一尺七寸。
日益表。南晷日益长。候句六尺。
即取竹空径一寸。长八尺。捕影而视之。空正掩日。
而日应空之孔。
由此观之。率八十寸。而得径一寸。
故以句為首。以髀為股。
从髀至日下六万里。而髀无影。从此以上至日。则八万里。
以率率之。八十里得径一里。十万里得径千二百五十里。
故曰。日晷径。千二百五十里。
若求邪至日者。以日下為句。日高為股。句股各自乘。并而开方除之。得邪至日。从髀所旁至日所。十万里。
法曰。周髀长八尺。句之损益。寸千里。
故曰。极者天广袤也。
今立表高八尺以望极。其句一丈三寸。由此观之。则从周北十万三千里而至极下。
荣方曰。周髀者何。陈子曰。古时天子治周。
此数望之从周。故曰周髀。
髀者。表也。
日夏至南万六千里。日冬至南十三万五十里。日中无影。以此观之。从南至夏至之日中十一万九千里。
北至其夜半亦然。
凡径。二十三万八千里。
此夏至日道之径也。其周。七十一万四千里。
从夏至之日中。至冬至之日中。十一万九千里。
北至极下亦然。则从极南至冬至之日中。二十三万八千里。从极北至其夜半亦然。凡径四十七万六千里。此冬
至日道径也。其周百四十二万八千里。从春秋分之日中北至极下。十七万八千五百里。
从极下北至其夜半亦然。凡径三十五万七千里。周一百七万一千里。故曰月之道常缘宿。日道亦与宿正。
南至夏至之日中。北至冬至之夜半。南至冬至之日中。北至夏至之夜半。亦径三十五万七千里。周一百七万一千里。
春分之日夜分。以至秋分之日夜分。极下常有日光。
秋分之日夜分。以至春分之日夜分。极下常无日光。
故春秋分之日夜分之时。日光所照。适至极。阴阳之分等也。冬至夏至者。日道发敛之所生也。至昼夜长短之所极。
春秋分者。阴阳之修。昼夜之象。
昼者阳。夜者阴。
春分以至秋分。昼之象。秋分至春分。夜之象。
故春秋分之日中。光之所照北极下。夜半日光之所照亦南至极。此日夜分之时也。故曰日照四旁。各十六万七千里。
人所望见远近。宜如日光所照。
从周所望见。北过极六万四千里。
南过冬至之日三万二千里。
夏至之日中光。南过冬至之日中光四万八千里。
南过人所望见万六千里。
北过周十五万一千里。北过极四万八千里。
冬至之夜半日光。南不至人目所见七千里。
不至极下七万一千里。
夏至之日中与夜半日光九万六千里。过极相接。
冬至之日中与夜半日光。不相及十四万二千里。不至极下七万一千里。
夏至之日。正东西望。直周东西日下至周五万九千五百九十八里半。
冬至之日。正东西方不见日。
以算求之。日下至周二十一万四千五百五十七里半。
凡此数者。日道之发敛。
冬至夏至。观律之数。听鐘之音。
冬至昼。夏至夜。
差数及日光所还观之。
四极径八十一万里。周二百四十三万里。
从周南至日照处三十万二千里。
周北至日照处五十万八千里。
东西各三十九万一千六百八十三里半。
周在天中南十万三千里。故东西短中径二万六千六百三十二里有奇。
周北五十万八千里。冬至日十三万五千里。冬至日道径四十七万六千里。周百四十二万八千里。日光四极。当周东西各三十九万一千六百八十三里有奇。
此方圆之法。
周髀算经卷上之三
凡為此图。以丈為尺。以尺為寸。以寸為分。分、一千里。凡用繒方八尺一寸。今用繒方四尺五分。分、為二千里。
吕氏曰。凡四海之内。东西二万八千里。南北二万六千里。
凡為日月运行之圆周。七衡周而六閒。以当六月。
节六月為百八十二日八分日之五。
故日夏至在东井极内衡。日冬至在牵牛极外衡也。
衡复更。终冬至。
故曰一岁三百六十五日四分日之一。岁一内极一外极。
三十日十六分日之七。月一外极一内极。
是故。一衡之閒。万九千八百三十三里三分里之一。即為百步。
欲知次衡径。倍而增内衡之径。
二之。以增内衡径。
次衡放此。
内一衡径二十三万八千里。周七十一万四千里。分為三百六十五度四分度之一。度得一千九百五十四里二百四十七步千四百六十一分步之九百三十三。
次二衡径二十七万七千六百六十六里二百步。周八十三万三千里。分里為度。度得二千二百八十里百八十八步千四百六十一分步之千三百三十二。
次三衡径三十一万七千三百三十三里一百步。周九十五万二千里。分為度。度得二千六百六里百三十步千四百六十一分步之二百七十。
次四衡径三十五万七千里。周一百七万一千里。分為度。度得二千九百三十二里七十一步四千百六十一分步之六百六十九。
次五衡径三十九万六千六百六十六里二百步。周百一十九万里。分為度。度得三千二百五十八里十二步千四百六十一分步之千六十八。
次六衡径四十三万六千三百三十三里一百步。周百三十万九千里。分為度。度得三千五百八十三里二百五十四步千四百六十一分步之六。
次七衡径四十七万六千里周百四十二万八千里。分為度。度得三千九百九里一百九十五步千四百六十一分步之四百五。
其次曰。冬至所北照过北衡十六万七千里。
為径八十一万里。
周二百四十三万里。
分為三百六十五度四分度之一。度得六千六百五十二里二百九十三步千四百六十一分步之三百二十七。过北而往者。未之或知。
或知者。或疑其可知。或疑其难知。此言上圣不学而知之。
故冬至日晷丈三尺五寸。夏至日晷尺六寸。冬至日晷长。夏至日晷短。日晷损益寸。差千里。故冬至夏至之日。南北游十一万九千里。四极径八十一万里。周二百四十三万里。分為度。度得六千六百五十二里二百九十三步千四百六十一分步之三百二十七。此度之相去也。
其南北游日六百五十一里一百八十二步一千四百六十一分步之七百九十八。
术曰。置十一万九千里為实。以半岁一百八十二日八分日之五為法。
而通之。
得九十五万二千為实。
所得一千四百六十一為法。除之。
实如法得一里。不满法者。三之。如法得百。步。
不满法者十之。如法得十。步。
不满法者十之。如法得一。步。
不满法者。以法命之。
周髀算经卷下之一
凡日月运行。四极之道。
极下者。其地高人所居六万里。滂沱四隤而下。
天之中央。亦高四旁六万里。
故日光外所照。经八十一万里。周二百四十三万里。
故日运行处极北。北方日中。南方夜半。日在极东。东方日中。西方夜半。日在极南。南方日中。北方夜半。日在极西。西方日中。东方夜半。凡此四方者。天地四极四和。
昼夜易处。
加四时相及。
然其阴阳所终。冬夏所极。皆若一也。
天象盖笠。地法覆槃。
天离地八万里。
冬至之日。虽在外衡。常出极下地上二万里。
故日兆月。
月光乃出。故成明月。
星辰乃得行列。
是故秋分以往到冬至。三光之精微。以成其道远。
此天地阴阳之性自然也。
欲知北极枢。旋周四极。
当以夏至夜半时。北极南游所极。
冬至夜半时。北游所极。
冬至日加酉之时。西游所极。
日加卯之时。东游所极。
此北极璇璣四游。
正北极枢。璇璣之中。正北。天之中。
正极之所游。冬至日加酉之时。立八尺表。以绳繫表颠。希望北极中大星。引绳计地而识之。
又到旦明日加卯之时。复引绳希望之。首及绳致地。而识其端相去二尺三寸。
故东西极二万三千里。
其两端相去。正东西。
中折之。以指表。正南北。
加此时者。皆以漏揆度之。此东西南北之时。
其绳致地。所识去表丈三寸。故天之中去周十万三千里。
何以知其南北极之时。以冬至夜半北游所极也。北过天中万一千五百里。以夏至南游所极。不及天中万一千五百里。此皆以绳繫表颠而希望之。北极至地所识丈一尺四寸半。故去周十一万四千五百里。
过天中万一千五百里。其南极至地所识九尺一寸半。故去周九万一千五百里。其南不及天中万一千五百里。此璇璣四极南北过不及之法。东西南北之正句。
周去极十万三千里。日去人十六万七千里。夏至去周万六千里。夏至日道径二十三万八千里。周七十一万四千里。春秋分日道径三十五万七千里。周百七万一千里。冬至日道径四十三万六千里。周百四十二万八千里。日光四极八十一万里。周二百四十三万里。从周南三十万二千里。
璇璣径二万三千里。周六万九千里。此阳绝阴彰。故不生万物。
其术曰。立正句定之。
以日始出。立表而识其晷。日入复识其晷。晷之两端相直者。正东西也。中折之。指表者。正南北也。极下不生万物。何以知之。
冬至之日。去夏至十一万九千里。万物尽死。夏至之日。去北极十一万九千里。是以知极下不生万物。北极左右。夏有不释之冰。
春分秋分。日在中衡。春分以往。日益北五万九千五百里而夏至。秋分以往。日益南五万九千五百里而冬至。
中衡去周七万五千五百里。
中衡左右。冬有不死之草。夏长之类。
此阳彰阴微。故万物不死。五穀一岁再熟。
凡北极之左右。物有朝生暮获。
立二十八宿。以周天歷度之法。
术曰。倍正南方。
以正句定之。即平地径二十一步。周六十三步。令其平矩以水正。
则位径一百二十一尺七寸五分。因而三之。為三百六十五尺四分尺之一。
以应周天三百六十五度四分度之一。审定分之。无令有纤微。
分度以定。则正督经纬。而四分之一。合各九十一度十六分度之五。
于是圆定而正。
则立表正南北之中央。以绳繫颠。希望牵牛中央星之中。
则复候须女之星先至者。
如复以表绳。希望须女先至定中。
即以一游仪。希望牵牛中央星。出中正表西几何度。
各如游仪所至之尺。為度数。
游在于八尺之上。故知牵牛八度。
其次星。放此。以尽二十八宿度。则定矣。
立周度者。
各以其所先至游仪度上。
车辐引绳就中央之正以為轂。则正矣。
日所以入。亦以周定之。
欲知日之出入。
以东井夜半中。牵牛之初临子之中。
东井出中正表西三十度十六分度之七而临未之中。牵牛初亦当临丑之中。
于是天与地协。
乃以置周二十八宿。
置以定。乃复置周度之中央。立正表。
以冬至夏至之日。以望日始出也。立一游仪于度上。以望中央表之晷。
晷参正。则日所出之宿度。
日入放此。
周髀算经卷下之二
牵牛。去北极百一十五度千六百九十五里二十一步千四百六十一分步之八百一十九。
术曰。置外衡去北极枢二十三万八千里。除璇璣万一千五百里。
其不除者。二十二万六千五百里。以為实。
以内衡一度数千九百五十四里二百四十七步千四百六十一分步之九百三十三以為法。
实如法得一。度。
不满法。求里步。
约之。合三百得一。以為实。
以千四百六十一分為法。得一。里。
不满法者。三之。如法得百。步。
不满法者。又上十之。如法得一。步。
不满法者。以法命之。
次、放此。
娄与角。去北极九十一度六百一十里二百六十四步千四百六十一分步之千二百九十六。
术曰。置中衡去北极枢十七万八千五百里。以為实。
以内衡一度数為法。实如法得一。度。不满法者。求里步。不满法者。以法命之。
东井去北极六十六度千四百八十一里百五十五步千四百六十一分步之千二百四十五。
术曰、置内衡去北极枢十一万九千里。加璇璣万一千五百里。
得十三万五百里。以為实。
以内衡一度数為法。实如法得一。度。不满法者。求里步。不满法者。以法命之。
凡八节二十四气。气损益九寸九分六分分之一。冬至晷长一丈三尺五寸。夏至晷长一尺六寸。问次节损益寸数
长短各几何。
冬至晷长丈三尺五寸。
小寒丈二尺五寸。小分五。
大寒丈一尺五寸一分。小分四。
立春丈五寸二分。小分三。
雨水九尺五寸三分。小分二。
啟蛰八尺五寸四分。小分一。
春分七尺五寸五分。
清明六尺五寸五分。小分五。
穀雨五尺五寸六分。小分四。
立夏四尺五寸七分。小分三。
小满三尺五寸八分。小分二。
芒种二尺五寸九分。小分一。
夏至一尺六寸。
小暑二尺五寸九分。小分。
大暑三尺五寸八分。小分二。
立秋四尺五寸七分。小分三。
处暑五尺五寸六分。小分四。
白露六尺五寸五分。小分五。
秋分七尺五寸五分。小分一。
寒露八尺五寸四分。小分一。
霜降九尺五寸三分。小分二。
立冬丈五寸二分。小分三。小雪丈一尺五寸一分。小分四。
大雪丈二尺五寸。小分五。
凡為八节二十四气。气损益九寸九分六分分之一。
冬至夏至。為损益之始。
术曰。置冬至晷。以夏至晷减之。餘為实。以十二為法。
实如法得一。寸。不满法者。十之。以法除之。得一。分。
不满法者。以法命之。
月后天十三度十九分度之七。
术曰。置章月二百三十五。以章岁十九除之。加日行一度。得十三度十九分度之七。此月一日行之数。即后天之度及分。
小岁。月不及故舍三百五十四度万七千八百六十分度之六千六百一十二。
术曰。置小岁三百五十四日九百四十分日之三百四十八。
以月后天十三度十九分度之七乘之。為实。
又以度分母乘日分母。為法。实如法。得积后天四千七百三十七度万七千八百六十分度之六千六百一十二。
以周天三百六十五度万七千八百六十分度之四千四百六十五除之。
其不足除者。
三百五十四度万七千八百六十分度之六千六百一十二。
此月不及故舍之分度数。他皆放此。
大岁。月不及故舍十八度万七千八百六十分度之万一千六百二十八。
术曰。置大岁三百八十三日九百四十分日之八百四十七。
以月后天十三度十九分度之七乘之。為实。又以度分母乘日分母。為法。实如法。得积后天五千一百三十二度万七千八百六十分度之二千六百九十八。
以周天除之。
其不足除者。
此月不及故舍之分度数。
经岁。月不及故舍百三十四度万七千八百六十分度之万一百五。
术曰。置经岁三百六十五日九百四十分日之二百三十五。
以月后天十三度十九分度之七乘之。為实。又以度分母乘日分母。為法。实如法。得积后天四千八百八十二度万七千八百六十分度之万四千五百七十。
以周天除之。
其不足除者。
此月不及故舍之分度数。
小月。不及故舍二十二度万七千八百六十分度之七千七百五十五。
术曰。置小月二十九日。
以月后天十三度十九分度之七乘之。為实。又以度分母乘日分母。為法。实如法。得积后天三百八十七度万七千八百六十分度之万二千二百二十。
以周天分除之。
其不足除者。此月不及故舍之分度数。
大月。不及故舍三十五度万七千八百六十分度之万四千三百三十五。
术曰。置大月三十日。
以月后天十三度十九分度之七乘之。為实。又以度分母乘日分母。為法。实如法。得积后天四百一度万七千八百六十分度之九百四十。
以周天除之。
其不足除者。
此月不及故舍之分度数。
经月。不及故舍二十九度万七千八百六十分度之九千四百八十一。
术曰。置经月二十九日九百四十分日之四百九十九。
以月后天十三度十九分度之七乘之為实。又以度分母乘日分母。為法。实如法。得积后天三百九十四度万七千八百六十分度之万三千九百四十六。
以周天除之。
其不足除者。
此月不及故舍之分度数。
六百五十二万三千三百六十五除之。得一周。餘分五十二万七千四百二十一。即不及故舍之分。以一万七千八百六十除之。得经月不及故舍二十九度。不尽九千四百八十一。即以命分。
周髀算经卷下之三
冬至昼极短。日出辰而入申。
阳照三。不覆九。
东西相当。正南方。
夏至昼极长。日出寅而入戌。阳照九。不覆三。
东西相当。正北方。
日出左而入右。南北行。
故冬至从坎阳在子。日出巽而入坤。见日光少。故曰寒。
夏至从离阴在午。日出根而入乾。见日光多。故曰暑。日月失度。而寒暑相姦。
往者詘。来者信也。故詘信相感。
故冬至之后。日右行。夏至之后。日左行。左者往。右者来。
故月与日合。為一月。
日复日。為一日。
日复星。為一岁。
外衡冬至。
内衡夏至。
六气复返。皆谓中气。
阴阳之数。日月之法。十九岁為一章。
四章為一部。七十六岁。
二十部為一遂。遂千五百二十岁。
三遂為一首。首四千五百六十岁。
七首為一极。极三万一千九百二十岁。生数皆终。万物复始。
天以更元作纪歷。
何以知天三百六十五度四分度之一。而日行一度。而月后天十三度十九分度之七。二十九日九百四十分日之四百九十九。為一月。十二月十九分月之七。為一岁。
周天除之。
其不足除者。如合朔。古者包牺神农。制作為歷。度元之始。见三光未如其则。
日月列星。未有分度。
日主昼。月主夜。昼夜為一日。日月俱起建星。
月度疾。日度迟。
日月相逐于二十九日三十日閒。
而日行天二十九度餘。
未有定分。
于是三百六十五日南极影长。明日反短。以岁终日影反长。故知之三百六十五日者三。三百六十六日者一。
故知一岁三百六十五日四分日之一。岁终也。月积后天十三周。又与百三十四度餘。
无虑后天十三度十九分度之七。未有定。
于是日行天七十六周。月行天千一十六周。及合于建星。
置月行后天之数。以日后天之数除之。得十三度十九分度之七。则月一日行天之度。
复置七十六岁之积月。
以七十六岁除之。得十二月十九分月之七。则一岁之月。
置周天度数。以十二月十九分月之七除之。得二十九日九百四十分日之四百九十九。则一月日之数。
《周髀算经》原文与注释
赵君卿序
夫高而大者莫大于天，厚而广者莫广于地。休恢洪而廓落，形修广而幽清。可以玄象课其进退，然而宏远不可指掌也；可以晷仪验其长短，然其巨阔不可度量也。虽穷神知化不能极其妙，探赜索隐不能尽其微。是以诡异之说出，则两端之理生，遂有浑天、盖天（1）兼而并之，故能弥纶天地之道，有以见天地之赜。则浑天有《灵宪》（2）之文，盖天有《周髀》之法。累代存之，官司是掌。所以钦若昊天，恭授民时。（3）爽以暗蔽，才学浅昧。邻高山之仰止，慕景行之轨辙。负薪余日，聊观《周髀》，其旨约而远，其言曲而中。将恐废替，濡滞不通，使谈天者无所取则。辄依经为图，诚冀颓毁重仞之墙，披露堂室之奥，庶博物君子，时迥思焉。
卷上
（1）昔者周公问于商高（4）曰：“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度（5），夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰：“数之法出于圆方。圆出于方，方出于矩（6），矩出于九九八十一（7）。故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。既方其外，半之一矩。环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩（8）。故禹之所以治天下者，此数之所生也（9）。”
勾股圆方图（10）
周公曰：“大哉言数！请问用矩之道？”商高曰：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方。（11）方属地，圆属天，天圆地方。（12）方数为典，以方出圆。（13）笠以写天，天青黑，地黄赤。天数之为笠也，青黑为表，丹黄为里，以象天地之位。（14）是故知地者智，知天者圣。智出于勾，勾出于矩。夫矩之于数，其裁制万物（15），唯所为耳。”周公曰：“善哉！”
（2）昔者荣方问于陈子曰：“今者窃闻夫子之道，知日之高大，光之所照，一日所行，远近之数，人所望见，四极之穷，列星之宿，天地之广袤，夫子之道皆能知之，其信有之乎？”陈子曰：“然。”荣方曰：“方虽不省，愿夫子幸而说之——今若方者可教此道邪？”陈子曰：“然。此皆算术之所及。子之于算，足以知此矣。若诚累思之。”
于是荣方归而思之，数日不能得。复见陈子曰：“方思之不能得，敢请问之。”陈子曰：“思之未熟。此亦望远起高之术，而子不能得，则子之于数，未能通类，是智有所不及，而神有所穷。夫道术，言约而用博者，智类之明。问一类而以万事达者，谓之知道。今子所学，算数之术，是用智矣，而尚有所难，是子之智类单。夫道术所以难通者，既学矣，患其不博；既博矣，患其不习；既习矣，患其不能知。故同术相学，同事相观，此列士之愚智，贤不肖之所分。是故能类以合类，此贤者业精习知之质也。夫学同业而不能入神者，此不肖无智而业不能精习，是故算不能精习。吾岂以道隐子哉？固复熟思之！”
荣方复归思之，数日不能得。复见陈子曰：“方思之以精熟矣，智有所不及，而神有所穷，知不能得，愿终请说。”陈子曰：“复坐，吾语汝。”于是荣方复坐而请。陈子说之曰：（16）
（3）夏至南万六千里，冬至南十三万五千里，日中立竿无影。此一者天道之数。周髀（17）长八尺，夏至之日晷（18）一尺六寸。髀者，股也，正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸；正北千里，勾一尺七寸。日益南，晷益长（19）。
候勾六尺（20），即取竹，空径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩日，而日应空。由此观之，率八十寸而得径一寸。（21）
从髀至日下六万里而髀无影。从此以上至日则八万里。若求邪（22）至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日，从髀所旁（23）至日所十万里。以率率之，八十里得径一里，十万里得径千二百五十里。故曰，日径千二百五十里。
日高图（24）
（4）法曰：周髀长八尺，勾之损益寸千里。故曰极者，天广袤也，今立表高八尺，以望极，其勾一丈三寸，由此观之，则从周北十万三千里而至极下。（25）
荣方曰：“周髀者何？”
陈子曰：古时天子治周，此数望之从周，故曰周髀。髀者，表也。
日夏至南万六千里，日冬至南十三万五千里，日中无影。（26）以此观之，从极南至夏至之日中十一万九千里。北至其夜半亦然。凡径二十三万八千里，此夏至日道之径也，其周七十一万四千里（27）。从夏至之日中至冬至之日中，十一万九千里，北至极下亦然。则从极南至冬至之日中二十三万八千里，从极北至其夜半亦然。凡径四十七万六千里，此冬至日道径也，其周百四十二万八千里。从春秋分之日中北至极下十七万八千五百里，从极下北至其夜半亦然，凡径三十五万七千里，周一百七万一千里。故曰，月之道常缘宿，日道亦与宿正。（28）南至夏至之日中，北至冬至之夜半；南至冬至之日中，北至夏至之夜半，亦径三十五万七千里，周一百七万一千里。（29）
春分之日夜分以至秋分之日夜分，极下常有日光；秋分之日夜分以至春分之日夜分，极下常无日光。（30）故春秋分之日夜分之时，日光所照适至极，阴阳之分等也。冬至夏至者，日道发敛之所至，昼夜长短之所极。春秋分者，阴阳之修，昼夜之象——昼者阳，夜者阴；春分以至秋分，昼之象，秋分以至春分，夜之象。故春秋分之日中光之所照北至极下，夜半日光之所照亦南至极，此日夜分之时也。故曰，日照四旁各十六万七千里。（31）
人所望见，远近宜如日光所照。从周所望见北过极六万四千里，南过冬至之日中三万二千里。夏至之日中，光南过冬至之日中四万八千里，南过人所望见万六千里，北过周十五万一千里，北过极四万八千里。冬至之夜半日光南不至人目所见七千里，不至极下七万一千里。夏至之日中与夜半日光九万六千里过极相接，冬至之日中与夜半日光不相及十四万二千里，不至极下七万一千里。（32）
夏至之日正东西望，直周东西日下至周五万九千五百九十八里半。（33）冬至之日正东西方不见日，（34）以算求之，日下至周二十一万四千五百五十七里半。凡此数者，日道之发敛。（35）冬至、夏至，观律之数，听钟之音。冬至昼，夏至夜，差数所及，日光所遝观之，四极径八十一万里，周二百四十三万里。（36）
从周南至日照处三十万二千里，周北至日照处五十万八千里，东西各三十九万一千六百八十三里半。周在天中南十万三千里，故东西短中径二万六千六百三十二里有奇。（37）
（5）此方圆之法。万物周事而圆方用焉，大匠造制而规矩设焉。或毁方而为圆，或破圆而为方。方中为圆者谓之圆方，圆中为方者谓之方圆也。（38）
（6）七衡图（39）
凡为此图，以丈为尺，以尺为寸，以寸为分，分一千里。凡用缯方八尺一寸。今用缯方四尺五分，分为二千里。
吕氏曰：凡四海之内，东西二万八千里，南北二万六千里。（40）
凡为日月运行之圆周，七衡周而六间，以当六月节。（41）六月为百八十二日八分日之五。（42）故日夏至在东井极内衡，日冬至在牵牛极外衡也。衡复更终冬至。故曰，一岁三百六十五日四分日之一，岁一内极，一外极。三十日十六分日之七，月一外极，一内极。（43）是故一衡之间万九千八百三十三里三分里之一，即为百步。（44）欲知次衡径，倍而增内衡之径；二之以增内衡径，得三衡径。次衡放（45）此。
内一衡径二十三万八千里，周七十一万四千里。分为三百六十五度四分度之一，度得一千九百五十四里二百四十七步千四百六十一分步之九百三十三。
次二衡径二十七万七千六百六十六里二百步，周八十三万三千里。分里为度，度得二千二百八十里百八十八步千四百六十一分步之千三百三十二。
次三衡径三十一万七千三百三十三里一百步，周九十五万二千里。分为度，度得二千六百六里百三十步千四百六十一分步之二百七十。
次四衡径三十五万七千里，周一百七万一千里。分为度，度得二千九百三十二里七十一步千四百六十一分步之六百六十九。
次五衡径三十九万六千六百六十六里二百步，周一百一十九万里。分为度，度得三千二百五十八里十二步千四百六十一分步之千六十八。
次六衡径四十三万六千三百三十三里一百步，周一百三十万九千里。分为度，度得三千五百八十三里二百五十四步千四百六十一分步之六。
次七衡径四十七万六千里，周百四十二万八千里。分为度，度得三千九百九里一百九十五步千四百六十一分步之四百五。
其次，日冬至所照过北衡十六万七千里，为径八十一万里，周二百四十三万里。分为三百六十五度四分度之一，度得六千六百五十二里二百九十三步千四百六十一分步之三百二十七。
过此而往者，未之或知。或知者，或疑其可知，或疑其难知。（46）此言上圣不学而知之。
故冬至日晷丈三尺五寸，夏至日晷尺六寸。冬至日晷长，夏至日晷短，日晷损益，寸差千里。故冬至、夏至之日南北游十一万九千里，四极径八十一万里，周二百四十三万里。分为度，度得六千六百五十二里二百九十三步千四百六十一分步之三百二十七，此度之相去也。其南北游，日六百五十一里一百八十二步一千四百六十一分步之七百九十八。（47）术曰：置十一万九千里为实，以半岁一百八十二日八分日之五为法，得九十五万二千为实，所得一千四百六十一为法，除之，实如法得一里；不满法者，三之，如法得百步；不满法者，十之，如法得十步；不满法者，十之，如法得一步；不满法者，以法命之。（48）
注释
（1）古代中国占统治地位的宇宙学说称为“浑天说”，它同时又是一种行之有效的数理天文学体系。其纲领见于《开元占经》卷一引《张衡浑仪注》：“浑天如鸡子。天体圆如弹丸，地如鸡子中黄，孤居于天内，天大而地小。天表里有水，天之包地犹壳之裹黄。天地各乘气而立，载水而浮。周天三百六十五度又四分度之一，……其两端谓之南北极。北极乃天之中也，在正北，出地上三十六度。……天转如车毂之运也，周旋无端，其形浑浑，故曰浑天。”又扬雄《法言·重黎》说：“或问浑天，曰：落下闳营之，鲜于妄人度之，耿中丞象之。”这是现今所知古籍中最早出现“浑天”名称者。浑天说之所以在古代中国取得统治地位，除了较符合视觉直观之外，主要是因为它能够进行有效的数理天文学计算并与实际观测吻合，这一点是古代中国任何其他宇宙学说无法望其项背的。“盖天说”则就是《周髀算经》下文中详述的学说。
（2）东汉张衡作，原文保存在《后汉书》卷二十天文志上刘昭注文中。这很可能只是一部已佚著作的开头部分。
（3）《尚书·尧典》：“历象日月星辰，敬授人时。”今人多将此理解为“安排农事”，其实是完全错误的。这句话的原意是指安排重大政治事务日程表，参见江晓原：《天学真原》，辽宁教育出版社（1991），145—151页。
（4）周公、商高，以及下文的荣方、陈子，皆假托的古代传说中人物，未必真有其人其事。这是战国秦汉间著作的常用手法。
（5）《易·系辞下》：“古者包牺氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地。”此为古代流行的传说。包牺又常写作伏羲、庖牺，为传说中三皇之一，相传八卦也是他所创立。
（6）矩，见图1，直到今天，中国的木工仍广泛使用这一古老工具。在古代艺术形象中，伏羲手中常持此物，比如山东嘉祥东汉武梁祠画像石、新疆吐鲁番阿斯塔那唐墓等处的伏羲女娲交尾图中，都是如此。矩的两条直角边，短的称为勾，长的称为股。
图1 矩
（7）意指矩中蕴含着乘法之理。故赵爽注称：“九九者，乘除之原也。”由矩的两条直角边所构成的矩形面积，即此两边之长相乘而得的积。
（8）此处所谓“积矩”，指勾、股平方之和（32＋42＝25）。“两矩共长”不能理解为两直角三角形周长之和。
（9）夸张的说法。意指禹凭借勾股之术设计、指导治水工程，而使天下大治。故赵爽注称：“禹治洪水，决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，释昏垫之厄，使东注于海而无浸逆，乃勾股之所由生也。”如何巧妙利用矩这一工具以勾股术进行工程测算，下文商高陈述“用矩之道”时即论及。
（10）此五字是否为《周髀算经》原文，现已不可确知——传世各种版本中的图很可能都是赵爽作注时所增绘。钱宝琮又据赵注重绘，有八幅之多。但实际上只需用第一幅即可清楚说明赵爽在其注文中对勾股定理所作的证明。如图2，设勾、股、弦之长依次为a、b、c，则整个大正方形面积为c2，中间小正方形面积为（b－a）2，四个直角三角形面积之和为2ab，于是有：c2＝（b－a）2＋2ab＝a2＋b2。
对于此事，赵爽、甄鸾、李淳风等人作了大量附注和讨论，繁琐枝蔓，意义不大。但此处必须强调指出的是，上述赵爽的证明对任何比例的直角三角形都普遍适用，而《周髀算经》原书中则始终只停留在勾三、股四、弦五这一特例的表述上。
图2 赵爽对勾股定理的普适证明（引自钱宝琮校点《算经十书》页一五）
（11）“平矩以正绳”指利用矩的直角边以确定水平与垂直。“偃矩”、“覆矩”、“卧矩”三句指利用相似三角形原理借助于矩以测高、测深及测远。“环矩”句指利用矩作为圆规以作圆。“合矩”句指两矩相合可构成方形。关于这些用矩之道的图解，可参看陈遵妫《中国天文学史》第一册，118—119页。
（12）此处所说的“方”、“圆”，皆为古人抽象的哲学概念，不宜理解为天地的实际形状。故赵爽注云：“天动为圆，其数奇；地静为方，其数偶，此配阴阳之义，非实天地之体也。”
（13）前人对这两句话颇多引用和讨论，但多流于概念之间的比附转换。其实返璞归真，则仍不出将矩作圆规可以画出圆这一简单事实而已。
（14）如将这几句话中的“天”都作相同理解，就很难讲通。但古人有时亦用“天”泛指整个宇宙，若将“笠以写天”和“天数之为笠也”两句中的“天”作“宇宙”解，文意即可通畅。
（15）这里“裁制”宜作“描述、掌握并加以改造”讲。
（16）从形式上说，自此以下的所有论述皆为陈子所作。为便于据文义进行分段以清眉目，不再标点作直接引语形式。
（17）周髀，为垂直立于地上的竿状物，亦称为表。其得名之故以及各种用途可见下文。
（18）晷，指八尺之表在日光下投于地面的影长。赵爽注：“晷，影也。”
（19）欲理解上面这段论述，可借助于图3及下文的图6。由图3可知，在天地为平行平面的假设下，并取天高H＝80000里、表高h＝8尺这组参数时，“日影千里差一寸”的结论确实可以得到证明。“正南千里……”两句，是指同一天（故日位置固定不动）在不同地点（自周地向南千里和向北千里）测日影的情形。“日益南，晷益长”则是指同在周地而不同季节（故日南北远近不同）测日影的情形。
S：太阳
B：表（周髀）
H：天地距离＝80000里
h：表高＝8尺
l：晷影之长
L：测晷影处至日下无影处之距离
图3 日影千里差一寸示意图
由图中相似三角形可知：
（20）若已掌握普适的勾股定理，则日影（勾）为任何长度时皆可施行下文的计算；而此处非要“候勾六尺”不可，足见仍只掌握了勾三、股四、弦五的特例，故需凑成其倍数以便套用。
（21）参见图4。由图中相似三角形可知，太阳至观测者距离与太阳直径之比等于竹筒长度与竹筒孔径之比，即：
ds：太阳直径
Rs：太阳至观测者距离
d：竹孔直径
t：竹筒长度
图4 日远近与日径比例之图（引自程贞一、席泽宗《陈子模型和早期对于太阳的测量》）
下文由此求得ds之值。
（22）邪，此处音、义俱同“斜”。
（23）旁，赵爽注：“旁，此古邪字。”据前一“邪”字的用法，完全可通。钱宝琮据顾观光之说，谓“旁”及“邪”俱当作“袤”，似乎反而使问题复杂化了。
（24）日高图原为赵爽作注时补绘，钱宝琮谓传世各本皆误，又据赵注重绘。今重新绘制为图5。由图5可知，在天地为平行平面的基本假设之下，在同一时刻于相距为L的两地用同高之表测得日影之长，确实可以推算出日高及日远之值：由图中相似三角形可有：
G1、G2：表1与表2晷影之长
H：日高（天高）
B1、B2：表1与表2
h：表高
S：日所在
L：两表间距离
图5 双表同测日高日远图
由于L之值为已知，且恰为L2与L1之差，于是可由上两式解出H，即日高之值：
H＝H′＋h＝Lh/（G2－G1）＋h
式中：G1、G2为两地测得的晷影之长。由此当然还可以解出两表处至日下的距离L1与L2。这种测算方案在古代中国至迟可追溯到公元3世纪的刘徽，比如《海岛算经》（即刘徽附于《九章算术》之后的《重差》卷）第一题：“今有望海岛，立两表齐高三丈，……问岛高及去表各几何？”即与此性质完全相同。需要注意的是，《周髀算经》原文中并未明确陈述这一测算方案。不过，在图5中可见，天高（即日高）八万里之值与前述“日影千里差一寸”（即在图5中令L＝1000里、G2－G1＝1寸）之说确实完全吻合。
（25）在图3中令S为北极，并令l为一丈三寸，即得L为十万三千里。
（26）以下所述宇宙数理模型，参见注译者绘制的图6及图3。注意图6所复原的模型与自李淳风以来的传统结论完全不同（论证详见本书导读第2节）。
（27）《周髀算经》取圆周率π＝3，以下各处都是如此。
J：北极（天中）
X：夏至日所在（日中时）
F：春、秋分日所在（日中时）
D：冬至日所在（日中时）
Z：周地（洛邑）所在
r＝11500里，极下璇玑半径
RX＝119000里，夏至日道半径
RF＝
RX＝178500里，春、秋分日道半径
RD＝2RX＝238000里，冬至日道半径
L＝103000里，周地距极远近
H＝80000里，天地间距离
h＝60000里，极下璇玑之高
图6 《周髀算经》宇宙模型半剖面示意图
（28）《周髀算经》认为二十八宿诸距星系沿黄道排列，故赵爽在此注称：“内衡之南，外衡之北，圆而成规，以为黄道，二十八宿列焉。”二十八宿体系起源时究竟是以黄道为准还是以赤道为准，一直是悬而未决的问题，《周髀算经》在这里提供了一个极有价值的线索，但看来长期未被现代论者所注意。
（29）由图6可见确实如此。但这一组径、周数据没有什么实际意义。
（30）这一点确属观测事实。北极半年为昼半年为夜的现象，在从古希腊一脉相传至今的球面天文学中可以得到准确描述，而《周髀算经》在下文中也试图在自己的宇宙模型中对该现象作出数学描述。
（31）“日照四旁各十六万七千里”，意即日光辐射的最大半径为167000里，这一数据的来源颇为费解，按上文所述春秋分日道半径，由图6不难看出，“日照四旁”显然应等于春秋分日道半径，即178500里，才能自洽合理（详见导读第3节论述）。
（32）这些数据很容易由图6推算出来，但没有什么实际的天文学意义。此外，《周髀算经》在推算这些数据时，始终只在二维平面上进行，而未考虑三维空间（人在地上而日在天上，天地间有八万里的距离——即使站在《周髀算经》的立场上，这一距离也是不应忽略的）。
（33）参见图7。图7为图6所绘宇宙模型的俯视图。所谓“夏至之日……直周东西日下至周”即图7中的ZSX线段之长，它显然可以由图求出：
线段JZ即图6中的L，亦即周地距极的距离，为103000里。将此值及RX之值代入上式，即得ZSX≐59598.5里。
（34）这是符合观测事实的。《周髀算经》在自己的数理模型中居然也相当成功地描述了这一事实：由图7可求出线段ZSD之长：
代入数值，得ZSD≐214557.5里，注意此值大于“日照四旁”的167000里，这意味着此时在周地正东西方向见不到太阳。
（35）注意《周髀算经》在这里回避了春秋分的情况。观测事实是：在
J：北极 RX：夏至日道半径（119000里）
Z：周地 RF：春、秋分日道半径（＝
RX）
RD：冬至日道半径（＝2RX）
图7 周地分、至日东西望日图
春、秋分这两日，在周地（以及北半球的一切地方）所见，太阳恰从正东方升起，至正西方没入地平线。如欲在图6、图7模型中准确描述这一事实，应有图7中线段ZSF之长恰等于“日照四旁”，但实际上在图7中为：
此值小于“日照四旁”的167000里，意味着太阳从周地的东北方升起而至西北方落下，这不符合观测事实。
（36）由图6，RD为238000里，再加上“日照四旁”的167000里，为405000里，即直径等于810000里。赵爽注又称：“八十一者，阳数之终，日之所极。”已有数字神秘主义色彩。
（37）因周地不在直径为810000里之圆的圆心上，而是偏离103000里，故有
将此值以2乘之，其与810000里直径之差≐26633里，此即“东西短中径二万六千六百三十二里有奇”。
（38）这段空洞的议论显得颇为突兀。在“此方圆之法”下还附有“圆方图”及“方圆图”各一，只是一个正方形的外接圆和内接圆，没有什么意义，亦无法确定是否赵爽所补绘，兹删去以省枝蔓。
（39）七衡图可确定系《周髀算经》原本所有，但此后各家绘制，互有异同。兹选择较完善的一种，见图8。
图8 七衡图（引自陈遵妫《中国天文学史》131页）
如《秘册汇函》、《津逮秘书》、《四部丛刊》、《学津讨原》、《槐庐丛书》等版本，在图下有说明称：“外方圈实青色，中俱黄色，内北极小圈青色实实。”
内衡旁边“春分”、“秋分”四字和外衡旁边“春秋分日出”、“春秋分日入”十字，都应写在第四圈的旁边。
（40）此为《吕氏春秋》中的语言，夹杂在此，当属衍文。
（41）二十四节气中，十二为节气，十二为中气。因七衡六间描述的是半个回归年中的情形（另半年对称相同），故曰“以当六月节”。赵爽注称：“六月节者，谓中气也。”而后世则习惯将节气称为节。但这一区别在此处无关宏旨。
（42）取回归年长度为
日，则半年为
日，即所谓六月。
（43）仍据回归年长
日，则其十二分之一为
日。注意此值并非朔望月长度之值。在回归年长
日，且采用十九年七闰的规则，则19年中共有19×12＋7＝235个朔望月，那么朔望月之长为：
这个值将在《周髀算经》下卷出现。
（44）一里为三百步，以下皆同。这里是说图8中每衡之间的间隔距离为
里。下文所罗列的数据，即由内衡（即夏至日道）递增该值而得。
（45）放，同仿。
（46）《周髀算经》对它所构想的宇宙最远边界之外的情形表示存疑态度。对这一问题的思考在汉代仍有继续，张衡的《灵宪》是与《周髀算经》的盖天说相对立的浑天说的经典文献，但其中对上述问题的态度却与后者相似：“过此而往者，未之或知也。未之或知者，宇宙之谓也。”
（47）此值有太阳周年视运动的性质，它可以与球面天文学中太阳的赤纬运动相对应（数值及其准确含义当然相去甚远）。在《周髀算经》的宇宙数理模型中，它表现为太阳在半年时间内移过七衡（另半年对称相反）的速度。由图6及图8可知，内衡与最外衡半径之差为119000里，故有：
《周髀算经》至此完成了它的宇宙数理模型的构建。
（48）此处《周髀算经》以“日南北游”为例展示了它的颇为繁琐的分数运算法：每日：
卷下
（7）凡日月运行四极之道。极下者，其地高人所居六万里，滂沲四
而下，（49）天之中央亦高四旁六万里。（50）故日光外所照径八十一万里，周二百四十三万里。故日运行处极北，北方日中，南方夜半；日在极东，东方日中，西方夜半；日在极南，南方日中，北方夜半；日在极西，西方日中，东方夜半。凡此四方者，天地四极四和。（51）昼夜易处，加时相反，然其阴阳所终，冬夏所极，皆若一也。
天象盖笠，地法覆槃。（52）天离地八万里。冬至之日虽在外衡，常出极下地上二万里。故日兆月，月光乃出，故成明月，（53）星辰乃得行列。是故秋分以往到冬至，三光之精微，以其道远，此天地阴阳之性自然也。
（8）欲知北极枢、璇玑四极，常以夏至夜半时北极南游所极，冬至夜半时北游所极，冬至日加酉之时西游所极，日加卯之时东游所极，此北极璇玑四游。正北极枢璇玑之中，正北天之中。正极之所游：冬至日加酉之时，立八尺表，以绳系表颠，（54）希望北极中大星，（55）引绳致地而识之；又到旦，明日加卯之时，复引绳希望之，首及绳致地而识其两端，（56）相去二尺三寸，故东西极二万三千里。（57）其两端相去正东西，中折之以指表，正南北。加此时者，皆以漏揆度之。（58）此东西。南北之时，（59）其绳致地所识，去表丈三寸，故天之中去周十万三千里。（60）何以知其南北极之时也？以冬至夜半北游所极，北过天中万一千五百里；以夏至南游所极，不及天中万一千五百里——此皆以绳系表颠而希望之，北极至地所识丈一尺四寸半，故去周十一万四千五百里，过天中万一千五百里；其南极至地所识九尺一寸半，故去周九万一千五百里，不及天中万一千五百里。（61）此璇玑四极南北过不及之法。东西南北之正勾。（62）
（9）璇玑径二万三千里，周六万九千里。此阳绝阴彰，故不生万物。（63）其术曰：立正勾定之，以日始出，立表而识其晷；日入，复识其晷。晷之两端相直者，正东西也；中折之指表者，正南北也。（64）极下不生万物，何以知之？冬至之日去夏至十一万九千里，万物尽死；夏至之日去北极十一万九千里，是以知极下不生万物。（65）北极左右，夏有不释之冰。（66）
春分、秋分，日在中衡。春分以往日益北，五万九千五百里而夏至；秋分以往日益南，五万九千五百里而冬至。（67）中衡去周七万五千五百里。中衡左右冬有不死之草，夏长之类。（68）此阳彰阴微，故万物不死，五谷一岁再熟。
凡北极之左右，物有朝生暮获，冬生之类。（69）
（10）立二十八宿，以周天历度之法。
术曰：倍正南方（70），以正勾定之。（71）即平地径二十一步，周六十三步，令其平矩以水正，（72）则位径一百二十一尺七寸五分，因而三之，为三百六十五尺四分尺之一，以应周天三百六十五度四分度之一。审定分之，无令有纤微。分度以定则正督经纬，而四分之一合各九十一度十六分度之五。（73）于是圆定而正。
则立表正南北之中央，以绳系颠，希望牵牛中央星之中；（74）则复候须女之星光至者，如复以表绳希望须女先至（75），定中；即以一游仪（76）希望牵牛中央星，出中正表西几何度，各如游仪所至之尺为度数。（77）游在于八尺之上，故知牵牛八度。（78）其次星放（79）此，以尽二十八宿度，则定矣。（80）
立周度者（81），各以其所先至游仪度上，（82）车辐引绳，就中央之正以为毂，则正矣。（83）
（11）日所出入，亦以周定之。（84）
欲知日之出入，即以三百六十五度四分度之一而各置二十八宿。以东井夜半中，牵牛之初临子之中。（85）东井出中正表西三十度十六分度之七，而临未之中，牵牛初亦当临丑之中，于是天与地协。（86）
乃以置周二十八宿，置以定，乃复置周度之中央立正表。以冬至、夏至之日，以望日始出也，立一游仪于度上，以望中央表之晷，晷参正，则日所出之宿度；日入放此。（87）
（12）牵牛去北极百一十五度千六百九十五里二十一步千四百六十一分步之八百一十九。（88）术曰：置外衡去北极枢二十三万八千里，除璇玑万一千五百里，其不除者二十二万六千五百里以为实，以内衡一度数千九百五十四里二百四十七步千四百六十一分步之九百三十三以为法，实如法得一度；不满法，求里、步：约之合三百得一以为实，以千四百六十一分为法，得一里，不满法者三之，如法得百步，不满法者上十之，如法得十步，不满法者又上十之，如法得一步，不满法者，以法命之。（89）次放此。
娄与角去北极九十一度六百一十里二百六十四步千四百六十一分步之千二百九十六。术曰：置中衡去北极枢十七万八千五百里以为实，以内衡一度数为法，实如法得一度，不满法者，求里、步，不满法者，以法命之。（90）
东井去北极六十六度千四百八十一里一百五十五步千四百六十一分步之千二百四十五。术曰：置内衡去北极枢十一万九千里，加璇玑万一千五百里，得十三万五百里，以为实，以内衡190度数为法，实如法得一度，不满法者，求里、步，不满法者，以法命之。（91）
（13）凡八节二十四气，（92）气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸，问次节损益寸数长短各几何？（93）
冬至晷长丈三尺五寸。
小寒丈二尺五寸，小分五。
大寒丈一尺五寸一分，小分四。
立春丈五寸二分，小分三。
雨水九尺五寸三分，小分二。
惊蛰八尺五寸四分，小分一。
春分七尺五寸五分。
清明六尺五寸四分，小分五。
谷雨五尺五寸六分，小分四。
立夏四尺五寸七分，小分三。
小满三尺五寸八分，小分二。
芒种二尺五寸九分，小分一。
夏至一尺六寸。
小暑二尺五寸九分，小分一。
大暑三尺五寸八分，小分二。
立秋四尺五寸七分，小分三。
处暑五尺五寸六分，小分四。
白露六尺五寸五分，小分五。
秋分七尺五寸五分。
寒露八尺五寸四分，小分一。
霜降九尺五寸三分，小分二。
立冬丈五寸二分，小分三。
小雪丈一尺五寸一分，小分四。
大雪丈二尺五寸，小分五。
凡为八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一，（94）冬至、夏至为损益之始。术曰：置冬至晷，以夏至晷减之，余为实，以十二为法，实如法得一寸，不满法者十之，以法除之，得一分，不满法者，以法命之。（95）
（14）月后天十三度十九分度之七。（96）术曰：置章月二百三十五，以章岁十九除之，加日行一度，得十三度十九分度之七，此月一日行之数，即后天之度及分。（97）
小岁（98）月不及故舍三百五十四度万七千八百六十分度之六千六百一十二。术曰：置小岁三百五十四日九百四十分日之三百四十八，（99）以月后天十三度十九分度之七乘之为实，又以度分母乘日分母为法，实如法，得积后天四千七百三十七度万七千八百六十分度之六千六百一十二；（100）以周天三百六十五度万七千八百六十分度之四千四百六十五除之，其不足者，三百五十四度万七千八六十分度之六千六百一十二，此月不及故舍之分度数。（101）佗皆放此。（102）
大岁月不及故舍十八度万七千八百六十分度之万一千六百二十八。术曰：置大岁三百八十三日九百四十分日之八百四十七，以月后天十三度十九分度之七乘之为实，又以度分母乘日分母为法，实如法得积后天五千一百三十二度万七千八百六十分度之二千六百九十八；以周天除之，其不足除者，此月不及故舍之分度数。（103）
经岁月不及故舍百三十四度万七千八百六十分度之万一百五。术曰：置经岁三百六十五日九百四十分日之二百三十五，以月后天十三度十九分度之七乘之为实，又以度分母乘日分母为法，实如法得积后天四千八百八十二度万七千八百六十分度之万四千五百七十；以周天除之，其不足除者，此月不及故舍之分度数。（104）
小月不及故舍二十二度万七千八百六十分度之七千七百五十五。术曰：置小月二十九日，以月后天十三度十九分度之七乘之为实，又以度分母乘日分母为法，实如法得积后天三百八十七度万七千八百六十分度之万二千二百二十；以周天分除之，其不足除者，此月不及故舍之分度数。（105）
大月不及故舍三十五度万七千八百六十分度之万四千三百三十五。术曰：置大月三十日，以月后天十三度十九分度之七乘之为实，又以度分母乘日分母为法，实如法得积后天四百一度万七千八百六十分度之九百四十；以周天除之，其不足除者，此月不及故舍之分度数。（106）
经月不及故舍二十九度万七千八百六十分度之九千四百八十一。术曰：置经月二十九日九百四十分日之四百九十九，以月后天十三度十九分度之七乘之为实，又以度分母乘日分母为法，实如法得积后天三百九十四度万七千八百六十分度之万三千九百四十六；以周天除之，其不足除者，此月不及故舍之分度数。（107）
（15）冬至昼极短，日出辰而入申。（108）阳照三，不履九，（109）东西相当正南方。（110）夏至昼极长，日出寅而入戌。阳照九，不覆三，东西相当正北方。（111）
日出左而入右，南北行。（112）故冬至从坎，阳在子，日出巽而入神，（113）见日光少，故曰寒。夏至从离，阴在午，日出艮而入乾，（114）见日光多，故曰暑。
日月失度而寒暑相奸。（115）往者诎，来者信也，（116）故屈信相感。故冬至之后日右行，夏至之后日左行。左者往，右者来。（117）故月与日合为一月，日复日为一日，日复星为一岁。（118）外衡冬至，内衡夏至，六气复返，皆谓中气。（119）
（16）阴阳之数，日月之法，十九岁为一章；四章为一蔀，七十六岁；二十蔀为一遂，遂千五百二十岁；三遂为一首，首四千五百六十岁；七首为一极，极三万一千九百二十岁，生数皆终，万物复始，天以更元，作纪历。（120）
（17）何以知天三百六十五度四分度之一？而日行一度、而月后天十三度十九分度之七？二十九日九百四十分日之四百九十九为一月、十二月十九分月之七为一岁？（121）
古者包牺、神农制作为历，度元之始，见三光未知其则，（122）日、月、列星，未有分度；日主昼、月主夜，昼夜为一日；日、月俱起建星；（123）月度疾，日度迟，日、月相逐于二十九日、三十日间，而日行天二十九度余，（124）未有定分。于是三百六十五日南极影长，（125）明日反短。以岁终日影长，故知三百六十五日者三，三百六十六日者一，故知一岁三百六十五日四分日之一，岁终也。（126）月积后天十三周，又与百三十四度余，无虑后天十三度十九分度之七，未有定。于是日行天七十六周，月行天千一十六周，又合于建星，（127）置月行后天之数，以日后天之数除之，得十三度十九分度之七，则月一日行天之度。（128）复置七十六岁之积月，以七十六岁除之，得十二月十九分月之七，则一岁之月。（129）置周天度数，以十二月十九分月之七除之，得二十九日九百四十分日之四百九十九，则一月日之数。（130）（全文完）
注释
（49）从唐代李淳风开始，一直到现代钱宝琮、陈遵妫等学者，都根据这句话而将《周髀算经》所构建宇宙模型中的大地形状理解为球冠形而非平面。事实上这是一个明显的误解。《周髀算经》卷上的原文中，已不止一次表明它的宇宙数理模型的基本假定正是天、地为平行平面，中间相距八万里。而此处也分明只说“极下”之地高于大地六万里，此极下之地即直径为23000里的“极下璇玑”，也即本书图6中左端所绘高为h、底半径为r的部分。所谓“滂沲四
而下”，只应理解为此“极下璇玑”由其距大地平面六万里处的尖顶向下逐渐增粗，至底部（即地面）而其直径达到23000里。一个有力的证据是，如将天、地形状理解为双层球冠的话，“极下者，其地高人所居六万里”就必将完全无法成立——“人所居”之处（比如周地）与“极下”顶端垂直空间距离将根本不可能达到六万里。而钱、陈等的论述中都完全未意识到这一误解造成的上述困难。他们虽然已发现球冠形天地与卷上陈子的地平假定相矛盾，却仍先验地赞成前者而将事实上并不存在的“矛盾”指为《周髀算经》的缺点。此外，如将天地理解为球冠形，则直径为23000里的“极下璇玑”之地也将与大地合为一体而无任何边界可加以区分，这样则“极下璇玑”在《周髀算经》中也将变成毫无意义了，而事实并非如此。
（50）天的正确形状也见图6。
（51）关于“四极四和”的意义，赵爽注称：“四和者，谓之极。子午卯酉得东西南北之中，天地之所合，四时之所交，风雨之所会，阴阳之所合。然则百物阜安，草木蕃庶，故曰四和。”这是古代中国传统的看法，将日月星辰的运行规律与整个自然界的和谐联系在一起。
（52）对《周髀算经》宇宙模型中天地形状的传统误解，很大程度上是出于此八字。盖笠和覆槃，其实很难使今人将之想象成球冠形。而且事实上只要注意到这八字只是文学性的描述，只是形象的大致比喻；而天地的准确形状如何，《周髀算经》卷上分明已有颇为严密的数理构造——天地为相距八万里的平行平面。在《周髀算经》这样一个数理天文学体系（与客观真实吻合程度如何是另一问题）中，数理构造和数学描述的权重远大于文学性比喻的片言只语，应该是不言而喻的。
（53）这里对月亮发光原因的陈述还是不甚明确的。故赵爽注称：“日者阳之精，譬犹火光；月者阴之精，譬犹水光。水则含影，故月光生于日之所照，魄生于日之所蔽。当日即光盈，就日即明尽。月禀日光而成形兆，故云日兆月也。”虽已明白月光与日光有关系，但尚未明确指出月光是反射日光而来。
（54）颠，通巅，指八尺之表的顶端。
（55）北极为天空中假想的点，再选择位于该点附近较亮的恒星作为北极星。由于岁差的作用，北极在天空中缓慢移动，约26000年而绕一周，因此历代的北极星也就不会始终为同一颗恒星。这样，此处“北极中大星”究竟为哪一颗星，就与《周髀算经》成书于什么时代或其材料来自什么时代这一问题密切相关了。据陈遵妫的意见，此“北极中大星”为今小熊座β星，也即古代中国所称的“帝星”（见陈遵妫《中国天文学史》174—175页）。
（56）参见图9。图中P点为真正的北极所在。由于北极与北极星并不绝对重合，两者间有一个角距离，因此北极星一昼夜间围绕北极在天空中画出一小圆。此小圆的半径实即北极与北极星之间的角距。
（57）仍参见图9。据《周髀算经》卷上所推证的“寸影千里”比例，得“极下璇玑”（即“北极璇玑”）直径为23000里。这个数值带有明显的时代标志——因为此值显然直接取决于当时北极与北极星的角距。
W：冬至日加酉之时，西游所极
E：日加卯之时，东游所极
AC：所立8尺之表
DF：其端相去2尺3寸
BC：其绳致地所识，去表1丈3寸
图9 北极璇玑东西游图解（引自陈遵妫《中国天文学史》175页）
（58）漏，指刻漏，古代的计时装置。此处的意思是，前述“加酉之时”、“加卯之时”等，都是用刻漏计量而得。由图9可知，冬至日加酉之时和明日加卯之时在地上所作记号（“识”）依次为F、D两点，此两点的连线为正东西方向；在此两点连线的中点B处，向北引B与表所在的C点之间的连线，即为正南北方向。
（59）“此东西南北之时”句，各本皆同。但顾观光认为“南北”二字是衍文，显然无道理。从上下文看，“南北”当属下句。
（60）仍见图9。据前“寸影千里”比例，得出周地距极下（即此处所云“天中”，因《周髀算经》的整个宇宙都绕北极运转和展开）103000里之值，即卷上图6中的L值。这个值在卷上已提到过它的由来：“今立表高八尺，以望极，其勾一丈三寸，由此观之，则从周北十万三千里而至极下。”
（61）见图10所示。与图9相仿，图中P点为北极。不过必须特别注意，此图中极星所绕行的小圆与图9中的有一些不同。在图9中，北极星所绕小圆为它作周日拱极运动（因地球的自转，所有恒星一昼夜间都呈现出绕北极一周的拱极视运动）而成，这在天文学上有着实际的观测依据。而这一模式中，要想求得北极星南、北游之极，按理应在某日（是否为冬至或夏至日，即使在《周髀算经》模型中也是完全无关紧要的）夜半和次日日中各“以绳系表颠而希望之”而在地上做出标记，但由于白天不可能看见恒星，故上述方案不可能实施。于是《周髀算经》假定北极星在冬至夜半游至北端而夏至夜半游至南端，这是同样合理的
N：冬至夜半北游所极
S：夏至夜半南游所极
GC：北极至地所识1丈1尺4寸半
HC：其南端至地所识9尺1寸半
图10 北极璇玑南北游图解（引自陈遵妫《中国天文学史》176页）
——确实也有实际的观测依据，然而这点在《周髀算经》宇宙模型中却反而讲不通。依据《周髀算经》模型，任何一天的夜半，北极星都在同一处。而且，在该模型中，这个北极星画出的小圆仅仅依据图9所示的“东西游”，实际上就足以推知了。因此，图10中一丈一尺四寸半、九尺一寸半之类的数据，完全可以是编凑出来的，为的是再一次验证“极下璇玑”之直径为23000里。而有些学者据此去推算极星的位置和年代等等，恐怕是没有意义的。
（62）此处赵爽注云：“以表为股，以影为勾。影言正勾者，四方之影皆正而定也。”
（63）此处赵爽注云：“春秋分谓之阴阳之中，而日光所照适至璇玑之径，为阳绝阴彰，故万物不复生也。”这也再次表明了此“极下璇玑”区域的特殊性，而这一点也只有在本书图6所示的天地模式中方能讲通。
（64）自“其术曰”至“正南北也”一段话，与上下文全无关系，疑为错简或衍文。
（65）这些数据皆可由图6得知。不过这里《周髀算经》的推论方法显然是错误的。作者的推论方法是：夏至日下之地在冬至时远离太阳119000里（仅在二维平面内考虑，未虑及天地相距八万里的二维情形），已经万物尽死；则极下即使在夏至之日也远离太阳119000里，自然万物无生时。但是作者刚刚在前文说过，不生万物的区域是直径达23000里的“极下璇玑”，而不是极下一点；在这23000里直径的圆形内，除面积为零的极下一点外，其全部面积在夏至日离太阳的距离都小于119000里。因此，严格地说，上述推论是不能成立的。然而也应该注意到，作者所推得的结论却与事实相去不远。
（66）这一点确是北极附近的事实。在《周髀算经》的时代，迄今未见任何证据表明中国人有过北极探险的可能，因此《周髀算经》中关于北极地区“不生万物”、“夏有不释之冰”的描述，只能有如下两个来源：或是作者纯粹根据越向北方越冷的实际经验推论而得，或是得之于外部世界关于地球寒热五带的知识——这种知识至迟在公元前3世纪（相当于中国的战国时代末期）古希腊的Eratosthenes的著作中已经具备。特别值得注意的是，对于北极附近“夏有不释之冰”的描述，赵爽竟反而表示怀疑，此处其注称：“冰冻不解，是以推之，夏至之日外衡之下为冬矣，万物当死——此日远近为冬夏，非阴阳之气，爽或疑焉。”这更证明这些知识对于汉代的中国学者而言仍是非常新奇的。
（67）这些数据都可由图6推得。
（68）此“夏长之类”一句不易理解。从句式上看，它似乎应与“冬有不死之草”成对句形式，则此处可能有脱文。但它又可以与后文“冬生之类”形成对文，则又可能并无脱文。赵爽此处注称：“此欲以内衡之外、外衡之内，常为夏也。然其修广，爽未之前闻。”这个“内衡之外、外衡之内”，也即“中衡左右”的区域，恰可对应于地球上的热带，即南纬23°.5至北纬23°.5之间（恰为太阳在冬至到夏至之间赤纬变化的范围）的地带。说这里“五谷一岁再熟”，也很合事实。但赵爽却表示他对这一地带的广袤从未听说过，这反映出汉代中国学者对于热带与对于北极地区一样还缺乏知识。这是不奇怪的，因为中原地区处在北温带之内，古代中国人对于遥远的北方和南方地区还缺乏实际接触。奇怪的倒是《周髀算经》中竟会有这样相当准确的寒热五带知识，以致令后世的赵爽反而不敢相信。换言之，《周髀算经》在这方面的记载是颇为“超前”和奇特的。
（69）此处赵爽注云：“北极之下，从春分至秋分为昼，从秋分至春分为夜，物有朝生暮获者，亦有春刍而秋熟；然其所育皆是周地冬生之类，荠麦之属。言左右者，不在璇玑二万三千里之内也。此阳微阴彰，故无夏长之类。”颇能圆通其说。
（70）倍，通“背”，背正南方，即向北方。
（71）“以正勾定之”，赵爽注称：“正勾之法：日出、入识其晷，晷两端相值者，正东西；中折之以指表，正南北。”参见图9及注（58）。
（72）此处赵爽注云：“如定水之平，故曰平矩以水正也。”古人为确定仪器安装时的水平度，常利用在底座上设槽放水的办法，其原理与现代的水平仪相同。这里是说用水校正地上这片选定的圆形的水平度。
（73）赵爽在此处注称：“南北为经，东西为纬。督亦通正。”南北向的直线称为经，东西向的横线称为纬；这里指将上述大圆用十字线等分成四个象限，则每个象限所对应的角度为
度（中国古度，与西方的360°不同）的四分之一，即
度。
（74）牵牛，指二十八宿中的牛宿，“中央星”为牛宿的距星，又称“中央大星”，即西方星座系统（今通用于全球）中的摩羯座β星。中，指上中天，即到正南方天空。
（75）须女，指二十八宿中的女宿，“先至”，指女宿“先至星”，亦即女宿西南星，今宝瓶座ε星。该星是女宿的距星。
（76）游仪，赵爽注云：“游仪，亦表也。”立在地面大圆中心的表是固定不动的，此外为测量而随处移动以为标识的表，则称为游仪，以区别于圆心处固定之表。
（77）上面这段话所描述的测量步骤，可简述如下：在一块经过修整、确保其水平面的地面上，画一个周长为
尺的大圆（为的是与周天
度对应），在此圆的圆心处（即“正南北之中央”）立一固定的表竿，在表竿顶部系一根绳，人立于圆心表竿之北的圆周上，拉直绳使之处在正南北的垂直平面（即子午面）内，然后等候牵牛中央星到达上中天的位置（即“中”），此时该星与表顶、人目三点成一线（即所谓“希望”）。此后，牵牛中央星继续西移，逐渐离开正南方天空的上中天位置；这时等候下一颗待测之星——须女先至星来到上中天位置，当须女先至星一达上中天，立刻移动绳末端向左，而使已经偏西的牵牛中央星、表顶与人目三点成一线，此时绳末端与圆周相交之处为图11中的A点，A点与子午线相交圆周处的B点之间的弧长，即牵牛中央星“出中正表西”的度数，于是在A′处立游仪为标识。
（78）此处的意思是：在图11中，A、B之间的弧长为八尺，由于前面对大圆周长的特殊选择，恰使周长一尺等于周天一度（中国古度），故可知牵牛中央星与须女先至星之间相距八度。
（79）放，同仿。其余各宿间的距度仿此。
（80）必须特别指出，《周髀算经》在此处所述二十八宿的度数，与古代中国通行的二十八宿度数有着重大区别。从汉代以后，中国通行的二十八宿是一种赤道坐标系统，具体做法是在每宿中选定一颗恒星作为精确测量的标准，称为该宿的距星（如上文提到的牵牛中央星、须女先至星等都是）；下一宿距星与本宿距星的赤径差，称为本宿的距度。按照这种规则，上文说牵牛中央星与须女先至星间差八度，故牵牛之宿的距度为八度。但是，《周髀算经》的上述数据是在水平面的圆上测得的，这样的数据属于地平坐标系，而不是赤道坐标。上述数据的严格意义是：牛宿与女宿两宿距星之间的地平方位角之差为八度。如要测得赤道坐标，则上述大圆形应该位于赤道平面上——在地理纬度为φ的地方，赤道平面与当地水平面的夹角为90°－φ。事实上，古代中国的赤道式浑仪正是这样装置的。
图11 测二十八宿周天历度示意图
（81）周度，指在周天建立以二十八宿为标识的坐标系统。注意此处所言仍为地平坐标而非传统二十八宿的赤道坐标。
（82）此处赵爽注云：“二十八宿不以一星为体，皆以先至之星为正之度。”意即上文所言以各宿的距星为测量的标准星。上面仅举了牛宿至其相邻女宿一宿距度的测量过程为例，以下各宿依此类推，最后地面大圆的圆周上将次第插上28个游仪，各游仪所在位置即28颗距星的位置。
（83）此处赵爽注称：“以经纬之交为毂，以圆度为辐。知一宿得几何度，则引绳如辐，凑毂为正。”古代将车轮轴心处称为毂，由轴心辐射至轮缘的连接条称为辐。对照图11，“经纬之交”即圆心立“中正表”之处，正如车轮之毂，由各游仪引向圆心的半径线（假想中的，图11中虚线所示）恰如辐条，共同奔向圆心。需要注意的是，这28游仪不是等间距的——因为二十八宿各宿跨越的距度参差不齐，最大的井宿（即东井）达三十余度，而最小的觜宿仅两度左右。这一点与车轮辐条不同。
（84）这是说，对于太阳的出入方位等情况，也可借助于二十八宿及地平方位坐标来加以描述（详下）。
（85）此处赵爽注云：“东井、牵牛，相对之宿也。东井临午，则牵牛临于子也。”注意这里实际上只是举例而言：因井宿、牛宿为相对之宿，如果井宿在夜半时于午位中天，则牛宿恰在子位中天。特别要注意的是，此处所言午、子等，为地平方位——古人以十二地支表示地平方位，一些至今仍在使用的术语如子午线（正南北方向的直线）、卯酉圈（天球上过正东西点的大圆）等，就是由此而来。这与下文中以十二次（仍用十二地支表示）与二十八宿相对应而作天球划分（见图12）完全不同。
图12 二十八宿与十二次对应图（引自明·张介宾《类经图翼》页一八）
（86）这里将十二次与二十八宿对应起来。这种对应在古代中国有固定的程式，如图12所示。注意图中井宿正在未，而牛宿正在丑。所谓“天与地协”，赵爽注称：“协，合也。置东井、牵牛使居丑、未相对，则天之列宿与地所为圆周相应合，得之矣。”这个说法其实未得正解。因为在这里十二次与二十八宿都是划分天球的，它们如何与地“协”，《周髀算经》未作明确陈述。但这可由古代中国的天学常识推知：所谓“天与地协”，意指天球上坐标既已划定，则由分野体系（将天区与大地上不同地区一一对应，是一种专为星占学服务的理论体系）也就确定了诸次、宿与大地上各地区之间的对应。图12原名“二十八宿过宫分野图”，其内起第二、三圈所标即十二次与古代十二国、十二州之对应，第四圈又为十二次与二十八宿之对应，最外圈为各宿分配给十二次时的起讫度数（有些宿分属两次），非常简明而直观地反映了“天与地协”的含义。
（87）这段话所述之事仍可借助于前文图11来理解：设日出于A′处，则中正表Z所投下之晷影ZA将交圆周于A，则由ZA顺延而确定A′，在该处立游仪，所标识者即“日所出之宿度”。日入也可照此处理。
（88）此处先述结论，求得此数值的步骤详见下文。注意这里“牵牛去北极”不是指牵牛星距北极的度数，而是指冬至日道——冬至日在牵牛之宿——与北极的距度。“百一十五度千六百九十五里二十一步千四百六十一分步之八百一十九”，如将其中里、步化为度（中国古度）下之十进小数，则为115.867度，亦即114°2′52″。
（89）这一长段数据及其运算可用现代算式表示如下：
被除数：238000－11500＝226500里
除数：1954里
步/度
此数值系由前文所交待的周天度数除以内衡周长，即“内衡一度数”由
而得（里下余数化为步，1里＝300步），于是有：
注意此式右端出现的里、步不是长度，而只是度的零数——根据“内衡一度数”：
于是115度1695里
步中的里、步可用如下步骤化为度下的十进小数：
注意运算中要用到1里＝300步的关系式。于是最后有：
冬至日道距北极115.867度。
（90）此处“娄与角去北极”是指春、秋分日道——春、秋分日在娄、角之宿——与北极的距度。系以“内衡一度数”去除中衡半径（本书上卷图6中的RF）而得。此处“九十一度六百一十里二百六十四步千四百六十一分步之千二百九十六”，可仿前之法，由
求得春、秋分日道距北极91.3125度，亦即90°。
（91）此处“东井去北极”是指夏至日道——夏至日在东井——与北极的距度。系以“内衡一度数”去除130500里（上卷图6中的Rx＋r）而得。此处“六十六度千四百八十一里一百五十五步千四百六十一分步之千二百四十五”，可仿前之法，由
求得夏至日道距北极66.758度＝65°58′8″。
这里特别值得注意，上述三值：
冬至日道距极115.867度＝114°2′52″
二分日道距极91.3125度＝90°
夏至日道距极66.758度＝65°58′8″
与用现代天文学方法推得之值有颇为惊人的吻合程度：以上列第二值减第一值，或以第三值减第二值，均可得到最基本的天文数据之一——黄赤交角ε；
ε周髀＝24.5545度＝24°2′52″
而《周髀算经》时代的黄赤交角值可用纽康（S. Newcomb）公式逆推得出：
ε100.B.C.＝23°27′8″.26－46″.845T
上式只保留一次项，T的单位为百年，对于100B.C．时的黄赤交角值，T应取－20（因纽康公式系以1901A.D．为起算原点），于是可得：
ε100.B.C.≐23°27′8″.26＋15′37″≐23°42′45″
此值与《周髀算经》中的24°2′52″相差甚微。
然而，《周髀算经》中上述三数值的取得之法，却完全看不出正确的天文学意义。陈遵妫说：“这些原非实测，只是推算，而且是无理的推算。”（[19]）钱宝琮也说：“但是这三个‘去极度数’的计算方法大可怀疑。为什么把牵牛放在外衡周上，把娄宿、角宿放在中衡周上，把东井宿放在内衡周上，使这四个宿的去极度数和各相当衡周的去极度数相等？为什么这三个极距每一度的弧长都要取内衡周上的一度为标准？为什么……”（[16]）这些疑问可参看新论第3节F。
（92）关于“八节二十四气”，赵爽注称；“二至者寒暑之极，二分者阴阳之和，四立者生、长、收、藏之始，是为八节，节三气，三而八之，故为二十四。”注意下文列出了全部二十四节气名称，这是关于完整二十四节气的最早文献之一，与《淮南子·天文训》中出现的二十四节气名称（被认为是最早的完备记载）在年代上至少是不相上下。
（93）由下文所列数据及“术曰”可知，《周髀算经》解答这一问题的做法是：将冬、夏至日晷影长度之差以12除，亦即作线性内插。这种做法实际上假设太阳的周年视运动为匀速（事实上非匀速），也与每一节气时的实测晷长明显不符，李淳风曾指出这一点。
（94）所谓“六分分之一”，系对“分”以下一位改为六分法（丈、尺、寸、分皆十进位）。这种做法有些奇特，何以要如此，值得探讨。
（95）这段运算可用现代算式表述如下：设以寸为单位，则冬至晷长为135，夏至晷长为16，135－16＝119，以12除之，则有：
上式右端即“九寸九分六分分之一”。
（96）所谓“月后天”，赵爽注云：“月后天者，月东行也。此见日月与天俱西南游，一日一夜一周天而月在昨宿之东，故曰后天。”实即月在天球上东行视运动所走过的度数。下文“月不及故舍”也指同一现象，亦即“月在昨宿（或作为起算点的某宿）之东”。
（97）据十九年七闰法则，19回归年恰等于235（19×12＋7）朔望月，换言之，日在天球上东行19周（每年1周）则月恰在天球上东行235周，日与月又相合于原点，因此日东行1度，月离日东行
度，于是“月后天”度数为：
（98）此处及下文依次出现小岁、大岁、经岁、小月、大月、经月六个术语，其定义相互有关联，兹列出如下：
经岁：即回归年，
日。
经月：即朔望月，由回归年日数及十九年七闰法则，有等式
故经月日数为：
日。
小岁：指12经月。
大岁：指13经月。
小月：指29日。
大月：指30日。
注意经岁日数在大、小岁之间，经月日数在大、小月之间。
（99）由定义，小岁日数＝12×经月日数，即：
（100）“小岁月不及故舍”度数等于：
小岁日数ד月后天”度数，即：
但此值仅为累计之值，由于周天仅
度，故此值还需经下文进一步处理。
（101）将上文求得之
度以
度累减之，至不足
度之余数，方为实际反映在天球上的“小岁月不及故舍”度数：
（102）“佗皆放此”，即“他皆仿此”，指下文大岁、经岁、小月、大月、经月的“月不及故舍”度数皆用同样方法求得。
（103）大岁日数＝13×经月日数
日，再以“月后天”度数乘之：
上值以周天度数
除之，所得余数即“大岁月不及故舍”度数：
（104）经岁日数＝回归年日数
日，再以“月后天”度数乘之：
上值以周天度数
累减之，所得余数即“经岁月不及故舍”度数：
（105）小月日数依定义为29日，再以“月后天”度数乘之：
上值以周天度数
度减之，所得即“小月月不及故舍”度数（注意此处数值“积后天”甚小，无需累减）：
（106）大月日数以“月后天”乘之：
此即“大月不及故舍”度数。
（107）经月日数以“月后天”乘之：
（108）参见图13，冬至之日太阳从辰位升起，西行至申位落入地平。
（109）仍参见图13，“阳照三”指冬至日白昼太阳仅照耀巳、午、未三位，其余九位不能覆盖（照耀）。
图13 十二辰方位之图
（110）指如在辰、申方位间引一直线，则此直线在（观测者所在地——周地）南面。
（111）仍见图13，夏至日太阳从寅位升起，西行（经过南方）而至戌位落入地平；此日太阳可照耀从寅经卯、辰……至戌共九位，故说“阳照九，不覆三”；此时在寅、戌位间引直线，则此直线在周地之北。值得注意，上面这一段对日出入方位的描述完全符合实际情况。诚如陈遵妫所指出的：“我们知道周城地方，即北纬三十四度多的地区，夏至日出时候，太阳的方位是东偏北约三十度，正是寅位；日入时候，太阳方位是西偏北约三十度，正是戌位；……同样，冬至日出时候，太阳方位是东偏南二十八度多，正是辰位；日入时候，太阳方位是西偏南二十八度多，正是申位。”（《中国天文学史》）166—167页）
（112）此处赵爽注云：“圣人南面而治天下，故以东为左，西为右。日冬至从南而北，夏至从北而南，故曰南北行。”面南背北，左东右西，是古代中国习用的方位约定，《周髀算经》下文也用此约定。
（113）参见图14，此图中国古代术数家称之为“后天八卦图”（另有“先天八卦图”，与此稍有不同）。所谓“冬至从坎，阳在子”，可将图13、图14同时参看，“坎”卦适当子位，代表正北方；至于“阳”，赵爽注云“阳气所始起”，实为古人的抽象概念，非太阳本身。“日出巽而入坤”，则由图14可见，正与前文“日出辰而入申”为等价陈述。
图14 后天八卦图
（114）与冬至时相仿，夏至时“阳气”在由图13中的午位、图14中的“离”卦所代表的正南方；“日出艮而入乾”，由图13、14可知，正是“日出寅而入戌”之意。
（115）这是中国古代常见的说法。一方面固然可以解释成“历法准确则反映的寒暑适时”之意，但古人深具天人感应、天人合一观念，常认为日月自身也会（因社会黑暗等原因）运行失常（即失度），而由此就会导致气候混乱失调（即所谓“寒暑相奸”）。
（116）“信”同“伸”，相对于“屈”而言。对此赵爽注云：“从夏至南往，日益短，故曰诎（按：义同“屈”）；从冬至北来，日益长，故曰信。”赵注所言南往北来，如将观察点置于周地，则参看上卷图6就很容易理解。亦可借助于图13，假设在其上作不同季节的日出入方位联线，则此线从夏至后往南移，到冬至又向北移回。
（117）此处赵爽注称：“冬至日出从辰来北，故曰右行；夏至日出从寅往南，故曰左行。古人常见以左指东，右指西，但亦有以左称南，右称北者，较少见。此处左右之说，颇为牵强，且易招致混淆。
（118）此处“月”指朔望月。“日”严格地说应是平太阳日。“年”，按“日复星”（即太阳在天球上相对某一恒星而言回到原来位置）的定义，应是恒星年；这与《周髀算经》上下文中一直使用的回归年（太阳两次经过春分点的时间间隔）有微小区别（恒星年＝365.25636日，回归年＝365.24220日——均指现代值，与《周髀算经》所使用的
日不同），但《周髀算经》的作者看来尚未注意到这一区别。
（119）参看卷上图8，七衡图中间有六个间隔（故图8又得名“七衡六间图”），恰代表“六气复返”——太阳在一年中由外衡至内衡再复归外衡，两次经过六间，正为十二中气（请同时参见卷上注（41））。
（120）在章、蔀、遂、首、极这一系列周期中，章19年，来源于十九年七闰法，使回归年与朔望月建立整数关系：
19回归年＝19×12＋7＝235朔望月蔀则在年、月、日三者之间同时建立整数关系：
76年＝235月＝27740日
以下由蔀至遂、首、极，则主要出于数字神秘主义之附会。比如赵爽注引《易纬乾凿度》“至德之数，先立金、木、水、火、土五，凡各三百四岁”以解释遂，引《春秋纬考灵曜》“日月首甲子冬至，日、月、五星俱起牵牛初，日、月若合璧，五星如联珠，青龙甲寅摄提格”以解释首，等等。但其中也有一些天文历法的实际意义，如：
1首＝3遂＝3×20蔀＝60蔀
由于古代中国的纪日干支以60为周期轮换，故一首（4560年）这一周期内不仅年、月、日都有整数关系，且能令起始之日的干支与4560年前的此日相同——通常的理想状况是：岁首初一冬至日，日干支为甲子，以此为起算点，则4560年后此日一切复原，又重新开始。
（121）以下有“周天除之，其不足除者，如合朔”三句，全然不可解。钱宝琮引顾观光之说谓“此与上下文不相属，……殊无文理，……并当删”，可从。
（122）此处赵爽注云：“三光，日、月、星；则，法也。”
（123）此处赵爽注称：“建六星在斗上也。日、月起建星，谓十一月朔旦冬至也。为历术者，度起牵牛前五度，则建星其近也。”但由于岁差的作用，春分点——冬至点也一样——逐年移动，故日、月起某星，也不是万古不变的。
（124）此处是指太阳在上述“二十九日、三十日间”即一个朔望月中在天球上向东移动了二十九度多（指太阳的周年视运动，与每日的东升西落是两回事）。
（125）南极影长，指冬至日太阳运行到最南端，此日的晷影最长。
（126）这是说《周髀算经》所采用的回归年长度（
日）系自实测得来。
（127）参见上文注B104，月球在一回归年中“积后天”13周天又134度多。这里则说，在未确定“月后天”（每天东行
度）数值之前，人们先观测到了：76年间（日行76周天）月球运行了1016周天，恰好又重在天球上建星处会合——注意这一关系式中实际上引入了“恒星月”的新概念，这是《周髀算经》前文未出现过的。恒星月指月球两次经过恒星间同一点的时间间隔，它比朔望月——月球两次与太阳会合的时间间隔——要短约两天。因此有如下关系式：
76回归年＝940朔望月＝1016恒星月
（128）这里给出了求“月后天”之值（参见注（97））的另一办法：由于月行1016周天中日行76周天，则日行1度时月行度数为：
故此处原文中的“月行后天”与“日后天”应改为“月行天”及“日行天”，方才正确。
（129）76年之积月，仍可由十九年七闰法求出：
76回归年＝4×（19×12＋7）＝940朔望月，则1回归年中的朔望月数为：
（130）1回归年（
日）中既有
个朔望月，则1朔望月中的日数为：
这里经文省略了对周天度数＝回归年日数这一环节的交待。其实，中国古代分周天为
度，就是由回归年日数为
日（此值可由多年观测获得）而来的。（全文完）