【2021中考真题16】常州压轴题全解析
本文解析的是2021年常州卷几道关键的压轴题，今年常州压轴题可谓精彩连连（倒二题难度太大），第8题考查算术平均数的变化规律以及对图像变化的深刻理解，需要一定的几何直观能力；第17题与第18题图形结构都很简洁，但内涵丰富，前者基于确定性分析，狠抓三角比或巧用面积法，后者考查直角三角形的存在性问题之“两线一圆法”，都可谓考查地极为精巧；第26题体现数形结合之数学美，第27题将“瓜豆原理”考到了新境界，既可以走代数推理之路，也可以走几何变换之路；第28题也将二次函数中的一个经典模型玩出新考法，需要充分利用平行四边形的性质及三角函数实现转化．整张试卷送分处送到了家，中档题也体现了较好的区分度，美中不足的是难题可能过难了些，对考场上的考生可能稍有些“残忍”（想考到满分不容易啊）！
分析（怎么想）：首先是对平均价格的理解，应是从第1天到第t天的价格的算术平均数，即从第1天到第t天的价格总和除以t．其次是观察图像后的感受，题中给定的图像可以理解成“散点图”，即横坐标取1~30的正整数的系列点组成的图像．至于如何解决本题，一种想法是硬算，即从第1天到第t天该商品的平均价格均可求（或求部分关键的“拐点”），但太麻烦；另一种更好的方法是利用算术平均数的变化规律，观察图像的变化趋势即可获解．
简解：观察y1随t的变化规律可知，当1≤t≤25且t为正整数时，y2随t的增大而增大（从第6天开始增大幅度变小）；当26≤t≤30且t为正整数时，y2随t的增大而减小，并且平均价格y2总小于15（元/件），故选A．
评析：本题主要考查对函数图像变化趋势以及算术平均数变化规律的理解，通过观察可知，商品价格y1随t的增大而先增大再不变后变小，从而平均价格y2随t的增大而先增大后变小，并且平均价格y2不可能超过最高价格15（元/件）．
分析（怎么想）：这是一个确定性问题，整个图形结构“铁板一块”，外围是一个“勾三股四弦五”Rt△ABC，内部含有一个正方形CDFE，故所有的元素（边、角等）均可求．另外，目标是求一个角的正弦值，要么是直接构造含此角的直角三角形，要么是转化为其他好求的角，下面提供三种容易操作的方法：
评析：前两种方法大同小异，通过延长、作垂线的方式构造直角三角形，狠抓三角比（即“定角定比”），利用比例计算相关边长．第三种方法甚是巧妙，利用“算两次”思想，借助面积法求得点F到AB的距离，轻松获解．相对而言，方法三更为简捷．且本题还可以将正方形改为长方形，以上三法仍适用．另外，从一定的视角来看，还可考虑建系解析法，即以C为原点，CA、CB分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，图中所有点的坐标确定、所有线的解析式确定，从而亦会产生一些美妙的想法（仅供参考）．
分析（怎么想）：这是一道直角三角形存在性问题，可利用所谓“两线一圆”法作图分析，即分别过点A、D作AB的垂线（所谓“两线”），再以AD为直径作圆（所谓“一圆”），然后随着点D的运动，观察这“两线一圆”与Rt△ABC两条直角边的交点个数（点A不算）的变化规律，确定临界状态，从而获解．
评析：这里采取了典型的“交轨法”，即利用所谓“两线一圆”与给定直角三角形的直角边的公共点个数来解决直角三角形的存在性问题．当点D运动到点B时，显然符合题意的点只有一个点（C）；当点D在A、B两点之间运动时，所谓“两线”（即分别过点A、D所作的AB的垂线）只能产生而且必然产生一个符合题意的点，从而问题转化为所谓“一圆”（即以AD为直径的⊙O）与给定直角三角形的直角边的公共点个数问题（即三个公共点）；显然⊙O与直角边AC能且只能产生一个符合题意的公共点，从而只要确定⊙O与直角边BC的公共点个数，由此确定临界状态（即⊙O与BC相切状态）．
题4：（2021年常州第26题）【阅读】通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
【理解】（1）如图1，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C、D，E是AB的中点，连接CE．已知AD＝a，BD＝b（0＜a＜b）．
①分别求线段CE、CD的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小：
CE CD（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．
①当m＝1，n＝2时，l＝ ；当m＝3，n＝3时，l＝ ；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是 ．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．
分析（怎么想）：（1）中利用“垂线段最短”原理得到不等关系，即常见的“均值不等式”；（2）中先通过计算，归纳猜想，再结合反比例函数的图像构图说理，借助面积关系求得最值．
分析（怎么想）：第（1）①问是一个特例，深入研究会发现，任何一个非y轴上的点总是与其关于y轴的对称点互相关联．由于本题没有指明TA到TA′的旋转方向，故本题还需要分类讨论．另外，从点的变换视角深入研究，还会发现，点T、A、T′之间存在确定的变换关系（即△TAT′始终为等腰直角三角形），其中任意两个点关于第三个点之间的变换关系唯一确定，这样的话，可以从“瓜豆原理”的视角分析相关点的轨迹，从而厘清本题中的图形结构及相互关系．
简解：（1）①点M的关联点是B；
下面谈谈关联点轨迹的规律：
评析：本题难在对于关联点轨迹规律的理解与探究，基于所谓“瓜豆原理”分析，主动规定“瓜豆三点”，即“定点、主动点和从动点”，通过构造旋转相似基本形，推理出目标关联点所在的轨迹直线总与x轴正方形成45°或135°，再结合①中特例给出的提示，即任何一个（非y轴上的）点总有一个关于y轴对称的关联点，从而求得关联点所在直线的解析式，再利用“交轨法”，顺利求解．
第（3）问可谓将“瓜豆原理”及轨迹考到极致，学生（甚至教师）很难想出上述关联点所在的两个矩形区域，但从考试的角度来看，考生可以直接猜想，找出圆心E的关联点所在的两条相互垂直的直线，即先作出圆心E关于y轴的对称点E′，再过点E′作与x轴正方形成45°或135°的两条互相垂直的直线，这两条直线与已知直线y＝－2x＋1的交点即为要找的点Q（值得一提的是，即便是笔者，也是在常州正高级教授于新华老师的教导下才真正理解的，感谢于特提携后辈）．
另外，对于关联点轨迹规律，还可以完全从“数”的视角计算推理，具体如下：
需要说明的是，尽管上面的说理过程针对的仅是图7或图8，但无论点A、T在何处，上述规律仍然成立，同理推导即可，这也体现了“变中不变的统一思想”！
至此，本题得到完美演绎！
分析（怎么想）：（1）中代入点A的坐标即可；（2）中先通过画图分析，理清题意，再利用平行四边形的对角相等，将问题转化为等腰三角形（即以DF为底的等腰△DEF）存在性问题，只需借助三个顶点纵坐标之间的关系列方程求解；（3）中先将面积比转化为线段比，再利用平行（或相似）转化线段比，将其转化为容易表示的一些线段，尤其是平行于坐标轴的相关线段，然后列方程求解．
评析：（2）中两种方法是平面直角坐标系中常用的两种手法，要么设坐标，表示相关线段长列方程；要么（巧）设边长，表示相关点坐标列方程（如果熟练的话，往往后者更为简捷）．（3）先将面积比转化为线段比，再利用平行（或相似）转化线段比，将其转化为容易表示的一些线段，尤其是平行于坐标轴的相关线段．
值得一提的是，受题干中“D是线段AB上一点（点D与点A、O、B不重合）”及第（2）问中“设点D的横坐标是t（t＞0）”这些条件的提示，（3）应当需要分类考虑，尽管第二种情形中，方程列出来后发现并未变化被舍去了．这种设问风格往往受命题人青睐，相当于给考生“暗送一些秋波”，但往往容易被忽略，如2021年上海中考最后一题（最后呈现）．
此外，若了解“于涵定理”（学悟于常州正高级教师于新华先生），本题还有更精彩的理解，以情形一举例如下：
分析（怎么想）：第（1）①问通过导角，容易得出两个目标三角形均是底角相等的等腰三角形，故相似；第（1）②问通过导角，容易推出上面两个相似的等腰三角形底角均为30°，从而很容易导出线段比．第（2）问通过主动设元，结合相似三角形的性质来表示出相关线段，从而列方程求解．
评析：本题图形结构看上去并不复杂，但内涵丰富，蕴含多个初中几何常见的基本图形，给人短小精悍之感．第（1）②问中用到了一个常用结论，即“顶角为120°的等腰三角形三边之比为1：1：根号3”，这个结论在解答题中虽不好直接使用，但很好证明．当然该问还有很多其他的求法，不再赘述．
第（2）问是压轴问，像题6一样，受题干中“联结BO并延长交边CD或边AD于点E”及第（1）问中“当点E在CD上”这些条件的提示，（2）应当需要分类考虑，且这里的两种情形都存在，也是考场上最容易被考生忽略的地方，需要引起一定的警示．这也是解析完2021年常州中考最后一问后为何联想到这道题的根本原因之所在．解题需要联想，反思需要类比，只有在联想类比中琢磨，方能真正“解一题，会一类，通一片”！
最后，针对（2）中的情形一，再给出一种好方法：
评析：这个解法有趣的地方在于多次使用“8”字形全等与相似，包括斜“8”字形相似及平行“8”字形相似，利用比例巧设线段，然后列方程求解．“哪里有比例，哪里就有巧设”！至此，这道最新的上海中考压轴题得到完美阐释！
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