漫谈高数曲线积分的物理意义
日期 : 2021年02月12日
正文共 :8930字
1. 假设x/y平面是一个力场,一个质点在立场中受力,它受的力在x轴方向方向的投影值,恰好等于它的y坐标(力的正负代表方向)。
2.那么这个例子沿着曲线y^2=x,从(1,-1)移动到(1,1),立场对它作了多少功?
http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu2/lesson/10.1duihuchang.htm。这个在物理里面有个电磁学公式就能体现出来,麦克斯韦的四个公式之一,磁场对时间的偏导数对该磁场区域面积的积分就等于该区域电场对该区域边界的环积分----也就是应该反过来理解格林公式,导数函数的面积分等同于原函数的曲线积分。
1. 假设AB是实数轴,AC是和AB夹角为a的向量,那么假设等腰边长为l,那么AB=l,AC=l(cosa isina),BC=AC-BC=l(cosa-1 isina)。
2. 假设mn和jk的长度为r,m=M 0i,j=M(cosa isina),那么n=M r,k=(M r)(cosa isina)。
3. mj的中点就是d1=(m j)/2,nk的中点就是d2=(n k)/2,两点之间的连线的方向矢量f1=d2-d1=(n k-m-j)/2
4. BC的共轭矢量f2=l(cosa-1-isina)
5. f1*f2,去掉实系数=(cosa 1 isina)(cosa-1-isina),实部=cosa^2-1 sina^2=0,所以是个纯虚书,根据上例的结果,f1和f2垂直,证毕。
3. 一起探讨一下直线到圆的思维方式的转变,以及这种转变所可能包含的几何意义。在一元微积分里面,计算定积分的时候用到了牛顿莱布尼茨公式,也就是寻找了 F(x)和F(x)的导数f(x)之间的一种关系,他们在线段长度上面构成一种几何关系,也就是在x0点附近,存在微分关 系:dF(x)=F'(x)*dx=f(x)*dx,所以dF(x)/(x-x0)=f(x),其中dx=x-x0是x轴上面的线段的长度。这个式子两边 取不定积分就是S(F(x)/x-x0)dx=F(x)。放到复平面上面去,积分限无法取,我们把x变成变量w,x0先看成常量z0,积分就只能变成围绕 z0点的一个任意无限小的圆,同时前面加上了一个系数(1/2PI*i),然后在把z0变成变量z,于是我们就得到了柯西积分公式----一维和二维的积 分公式终于得到了统一。
赞 (0)