每日一题360：平面区域的轮换对称性与二重积分计算及不等式的验证

练习题

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习360：(1) 设. 证明:

(2) 设. 计算

(3) 设由三条直线围成. 计算

【注1】先自己思考，动手尝试探索一下解题思路与解题过程，写写解题步骤，然后再对照下面的答案！

【注2】每日一题参考解答思路一般不仅仅是为了解题，而重在分享、拓展思路，更多重在基本知识点的理解、掌握与应用！参考解答一般仅提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过公众号会话框或邮件以图片、或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！

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练习参考解答

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习360：(1) 设. 证明:

(2) 设. 计算

(3) 设由三条直线围成. 计算

【相关知识点与解题思路分析】根据积分的一般思路，首先考察积分区域的对称性. 对于二重积分的平面积分区域，考察对坐标轴、原点的对称性和轮换对称性. 优先考察对坐标轴的对称性，具体结论与典型例题分析可以参见：每日一题359：基于二重积分基本计算性质简化积分计算求解积分的思路与方法.

关于积分区域的轮换对称性及相关应用的结论描述如下：将描述区域的所有方程或不等式中的所有替换为，所有的替换为时，所描述的积分区域不变时，或者说描述的方程与不等式不变时，则积分区域具有轮换对称性. 此时，轮换被积函数的变量，积分值不变，即

如果轮换变量函数表达式不变，即

则函数也有轮换对称性，则积分等于一半区域上积分的两倍，即

其中为下方的区域（被分割后的一半积分区域）. 进一步，如果函数具有反轮换对称性，即

则.

【注1】 在具体的二重积分计算时，一般先考察积分区域关于坐标轴、坐标原点的对称性，然后再考察轮换对称性. 不过具体问题具体分析，当积分区域具有轮换对称性，同时也具有关于坐标轴的对称性时，有时候并不一定需要应用“偶倍奇零”来简化积分计算，如练习(2).

【注2】 注意积分对称性的应用结论可以反向应用！一般在函数具有奇偶性，或者对称性时，可以考虑扩充对称积分区域来转换积分模型. 如练习(3).

【参考解答】：(1) 由题设可知积分区域具有轮换对称性，故

从而可得积分

由于，故

又的面积为 1，故由积分的保序性，得

也即所证不等式成立.

(2) 由题设可知积分区域关于两个坐标轴都对称，且具有轮换对称性，记

又被积函数关于两个变量都为偶函数，故由积分偶倍奇零的计算性质

同样积分区域也有轮换对称性，故

类似(1)，并由三角函数变换关系

和二重积分的极坐标计算方法，可知在的极坐标变量描述形式为

于是可得

【注】 此题也可以先不考虑对坐标轴的对称性，而直接应用轮换对称性计算，即

(3) 令，则，即被积函数也具有轮换对称性. 考虑积分区域

则积分区域 具有轮换对称性，则由积分区域和被积函数的轮换对称性可知

令，则

由于是周期为的周期函数，故

代入二重积分式，得

分割积分区间，得

令，则

代入上式可得

即. 所以