2021北欧数学奥林匹克 中文翻译

考试时间：2021年4月16日

考试时长：4小时

每题7分，共28分

1.黑板上写有若干个大于的整数. 诺迪对其进行如下操作: 在每一步中, 诺迪在黑板上写下满足如下条件的最小整数:
这个数比黑板上已有的每个数都大.
黑板上已有的每个数都不能整除这个数.
求证: 在某一步之后, 诺迪写下的全是素数.

2.求所有函数 , 使得对任意实数, 均有

3.给定正整数. 甲乙两人进行如下游戏:
首先, 甲指定 的个基数为 的子集 , 随后, 乙指定个任意整数 最终, 甲指定一个正整数.
此时,如果存在整数 , 以及 ,使得,则乙获胜.否则甲获胜.
求所有使得甲有必胜策略的正整数.

4.凸四边形内接于圆. 已知交于点, 且在之间. 直线交于点. 过作的平行线与交于点. 设关于的对称点为, 且在内部. 求证: 共线.