2019年连云港中考数学压轴题解析 / 四六文摘

这一期的题目是2019年连云港的压轴题，连云港的压轴题不同于江苏其他市，考二次函数，它会出一些比较创新的探索类题目，这道题就是这样，分为四个小题，每个小题考了一个知识点，相当于四个填空题。

又是猜测数量关系，老规矩还是拿尺子量一下看看，很容易发现关系应该是DN+MB=EC，下面开始证明，这道题给人感觉好像是蛮简单的，但是实际做起来会发现有点绕不出来的感觉。

首先这类数量关系必然要做辅助线，第一个考虑辅助线的作法是截长补短

我们作BF平行于MN交DC于点F，那么四边形MBFN是平行四边形，所以DN+MB=DN+NF，如果这个结果等于EC，那么FC就必须等于BE，所以我们接下来只要证明FC等于BE就结束了，也就是证明△ABE≌△BCF，其中AB=BC,∠C=∠ABC=90°，又因为MN∥BF，AE⊥MN，所以∠AEB=90°经过简单倒角可以得到∠BAE=∠CBF，最后因为是正方形，AB=BC，这样三个条件都齐了，三角形全等，因此结论成立。

有同学一开始会想到过点N向AB作垂线

这种情况下△MGN≌△EBA，这样DN=AG=AM-GM,由于GM=BE，所以DN=AM-BE，而BE=BC-EC，因此我们可以得到DN=AM-(BC-EC)，这样我们所需要的边出现了2条，还差一条边MB，再看一下，MB=AB-AM，刚好把上式中的AM换掉得到DN=AB-MB-(BC-EC),这样我们所需要的边都放到一个等式中去了，再进行化简，DN=AB-MB-BC+EC，因为AB=BC，所以这两者消去，最后得到我们所需要的等式。

这种思想就是我们把所需要的求关系的边尽可能放在同一个等式当中去化简，因为如果关系成立，无论我们用什么方法，最后得到的结果一定是相同的，这就是数学。

第二问，让我们求度数，首先我们来看一下题干，这道题并没有给出任何度数，然后就让我们去求某个角的度数，再观察一下这个角，大致猜测应该是45°，为什么呢？因为这道题只给出了边的关系，而边要转化为角，那必然只有等腰直角三角形或者等边三角形了，这是做题前的一个猜测。

下面开始解题，我们知道MN是AE的中垂线，所以首先想到的是连接AQ

我们刚才猜测角AEQ=45°（或者拿量角器量一下也行），由于AQ=QE，所以∠QAE=45°，因此△AQE应该是等腰直三角形，这样我们就能想到一线三垂直模型，这个模型我前面有强调过，不明白的同学去翻一翻前面几期，所以自然而然就想到了过点Q作QH垂直于BC，延长QH交AD于点G，这样∠AGQ=90°，这个证明很简单，就不细说了。

看起来红蓝两个三角形是全等的，并且，如果全等，那么∠AQE=90°，所以问题的关键变成了证明红蓝三角形全等，我们知道的条件有AQ=EQ，以及两个直角，还差一个条件，这时候我们发现BD这个对角线还没用过，既然是正方形对角线，那么肯定有45°呀，所以∠GDQ=45°，△QGD为等腰直角三角形，因此GD=GQ，有同学就疑惑了，我需要的是GQ=EH，你告诉我GD=GQ有什么用？别急，我并不是要证GQ=EH，而是要证AG=QH，AD=GH,所以AD-GD=GH-GQ，因此GQ=EH，这样红蓝三角形全等条件就齐活了，在通过简单的倒角证明∠AQE=90°，进而就能得到∠AEQ=45°了。