分析心理学与分形几何（上）

在说清楚分析心理学与分形几何的关系之前，我们需要先说明什么叫分形几何及其重要概念——分形维度。

早在17世纪，德国数学家、哲学家莱布尼茨（G.W. Leibniz，1646-1716年）就曾思考过递归问题，虽然当时他误认为只有直线会自相似。1872年，被誉为“现代分析之父”的德国数学家魏尔斯特拉斯（K.T.W.Weierstrass，1815-1897年）给出了一个具有处处连续但处处不可微这种非直观性质的函数例子，其图像在现今被认为属于分形几何。1904年，瑞典数学家冯·科赫（N.F.H. von Koch，1870-1924年）不满意魏尔斯特拉斯那抽象且解析式的定义，便用更加几何化的方式，在其名为“关于一个可由基本几何方法构造出的、无切线的连续曲线（Sur une courbe continue sans tangente，obtenue par uneconstruction géométrique élémentaire）”的论文中，描述了一个类似函数之构造方法；由于冯·科赫最早描绘出这一分形曲线，故后世以其名命名该函数图形为科赫曲线。

要想完全明白科赫曲线等分形几何图形之维度，在此有必要额外做一些简单的解释。若某图形由边长为原图边长1/a的b个相似图形所组成，则称

为该几何图形之拓扑维度或分形维度。

而在中学数学教科书中，建立于直角坐标系之欧几里得空间中图形之维度称为代数维度。如果一个空间的坐标至少需要n个变量来表示，则该空间的代数维度就为n。比如说平面需要横坐标和纵坐标两个变量，因此平面是二维的；球面需要经度和纬度两个变量来表示，因此球面也是二维的；而球体需要经度、纬度和深度三个变量，所以球体是三维的。

如下图所示，针对分形维度列举数例：

（1）将线段平分为4段，则每小段长度皆为原长之1/4，此时a=b=4，故线段的维度

（2）将正方形每条边都2等分，并将等分点纵向、横向对应相连，则可得到4个完全全等的小正方形，其边长为原正方形边长之1/4，此时a=2而b=4，故正方形的维度

（3）想象切一块豆腐，若在纵、横、竖三个方向各在中分线切一刀，则会得到8个完全全等的小豆腐块，而每条边的边长是对应原豆腐边长之1/2，此时a=2而b=8，故豆腐（代表立方体）之维度

可见，规则图形之拓扑维度与代数维度相同。

但在分形几何空间里，拓扑维度与代数维度往往差异很大。以科赫曲线为例，如图所示：

将线段去除中间之1/3，并呈60度角外加同样长度之两段，可得图4.20-b；然后在第一次操作后所得之四个小线段中同时进行上述操作，可得图4.20-c；五次操作后得到可得图4.20-f。由于每一次迭代后，边长变为前一次的1/3，而全等线段数变成上一次的4倍，即，故该折线维度为。动态效果如下图所示：

若在正三角形之三条边同时进行“Koch迭代”，则可以得到Koch雪花。

现代集合论之创立者、德国数学家康托（G.F. Cantor，1845-1918年）也给出一个具有不寻常性质之实直线子集，即康托集，今日也被认为是分形；值得一提的是，当时康托之研究成果不但得不到其他数学家之认可，还受到以其导师、德国数学家与逻辑学家利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker，1823-1891年）为首的众多数学家之长期攻击；康托因此患上抑郁症，不久后精神失常，并最终死于精神病院。波兰数学家谢尔宾斯基（W.F.Sierpiński，1882-1969年）于1915年构造出了谢尔宾斯基三角，来年又构造出了谢尔宾斯基地毯；法国数学家列维（P.P.Lévy，1886-1971年）于1938年在其论文《Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar tothe Whole》中将自相似曲线之概念更进一步地推进，并描述了一个新的分形曲线，即Lévy-C形曲线。

谢尔宾斯基三角

Lévy-C形曲线

分形几何理论之创立者、拥有法、美双重国籍之数学家曼德布罗特（B.B. Mandelbrot，1924-2010年）于1975年出版著作《Les objets fractals，forme，hasard et dimension》（分形学：形态，概率和维度，英译本《Fractals: Form，Chance and Dimension》于1977年出版），提出“分形”一词并用于描述这类结构。此外，曼德布罗特用计算机绘制图来描绘分形之数学定义，这些绚丽而无限曲折之图像征服了大众之想象。由于其中许多都基于递归，这导致了大众对术语“分形”之通俗理解。此外，分形在医学、土力学、地震学与技术分析中都有应用。

虽然分形属于数学构造，但其同样可以在自然界中被找到，这使得它们被划入艺术作品之范畴。此外，将、曼陀罗佛塔与三维分形图相比较可以发现，它们有很多相似之处：自相似之结构不断重复。

典型的古印度金刚宝座式塔

南传佛寺笋塔

浙江杭州西湖夕照山之雷峰塔

六幅某些选手曾在分形几何大会上获奖的三维分形几何图

楼阁式塔、密檐式塔、覆钵式塔、金刚宝座式塔、经幢式塔、宝箧印式塔等，都具有“自相似”结构。楼阁式塔、覆钵式塔、经幢式塔与宝箧印式塔纵向层层相似，而密檐式塔与金刚宝座式塔不但纵向层层相似，而且底座之横向水平褶皱也自相似。正如我们在本书绪论部分介绍关于南传佛教建筑结构时所指出的，古印度哲学观视宇宙为完整而自相似结构，其寺庙（不单单是寺院）之经典造型充满了自相似结构之锯齿状或层层褶皱之“盖帽”，并在后世演化为佛塔或佛殿屋顶上之塔尖。

从左至右、从上至下依次为：

楼阁式塔、亭阁式塔、密檐式塔、

覆钵式塔、金刚宝座式塔、

过街式塔、经幢式塔、宝箧印式塔

佛塔早期用于存放佛祖涅槃后留下的舍利，后来虽然部分佛塔发展为用于安葬高僧圆寂后之肉身，但总体而言，其存在已经成为一种象征，整个佛塔就像三千大千世界。佛塔设计者本身未必会了解分形几何理论，但其在设计时是否具有部分类似之理念或修养，则难以臆测。那些金刚宝座式塔与密檐式塔之所以如此设计，如果仅仅是出于美观之考虑，似乎稍显不足，因为美观的设计样式无穷无尽。

若研究曼陀罗，就会发现，其中也充满了自相似结构，如在宗教建筑之文化与心理意象（十二）曾介绍过的曼陀罗“文殊菩萨法性敕自在—金刚鬘”。

荣格曾自绘的曼陀罗“金色的城堡”（1928年），其也具有自相似结构。