号称历届最难的广东中考数学选择压轴题：抛物线上应用圆半径最长

今年，2021年的广东中考数学卷，号称历届最难，特别对农村的考生来说，有人甚至说，只要能考及格就算高分。我们来看看它的选择题压轴题，看看是不是真的有那么难。

设O为坐标原点, A,B为抛物线y=x^2上的两个动点, 且OA⊥OB. 连接AB, 过O作OC⊥AB于点C, 则C点到y轴的最大距离是( ).

A. 1/2；B. 根号2/2；C. 2倍根号5；D. 5

这种题，你要先画图，有图有真相嘛，不然空想是永远做不出来的。但是对许多考生来说，作图简单就是他们的噩梦，这就是平时缺乏练习作图留下来的苦果。

如图，过A，B做x轴的垂线可以构造一个k型相似，看得明白吗？两边是两个直角三角形，中间还夹着一个直角三角形AOB，这叫一线三直角，又称为K形相似三角形，就是两边两个三角形是相似的。

不妨设A(-a,a^2), B(b,b^2), 且a>0, b>0,，由于抛物线的对称性，你反过来设，也是一样的。这里设A点的横坐标是-a，是为了保持a为正数，下面描述起来方便。

那么由上面所分析的K形相似边的比例关系，就可以列得 a^2/b=a/b^2, 即点A到x轴的距离与点B到y轴的距离比，等于点A到y轴的距离与点B到x轴的距离比。化简可以得到ab= 1。

再设直线AB的解析式为：y=kx+c。那么当直线AB和抛物线相交时，就是它们的y值相等时，可列x2-kx-c=0，这时-a和b是这个方程的两个解，它们的和就等于参数a分之c，即-c，从而c=ab=1.

这说明AB与y轴的交点是固定的，记作D点。这是解这道题的关键。如果我们之前有这个经验，即抛物线y=x平方上两个动点A，B，满足题中OA和OB垂直的条件时，AB与y轴的交点是一个定点，且纵坐标为1，那么这道题就可以节省很多时间。事实上，任何顶点在原点的抛物线可能都有类似的规律，且这个交点的纵坐标的绝对值是参数a的平方分之一，若是想要中考取得好成绩，平时就要多做这些方面的探究。

现在注意观察，因为OC⊥AB，所以定边OD所对角∠OCD始终是一个直角，这就说明点C在以OD为直径的圆上。

因此点C到y轴的最大距离就是这个圆的半径，即OD的一半，等于二分之一。

如果平时的知识储备得不够，或临场不会应用，再或者不会作图，那么这道题的难度的确是挺高的。