从卤蛋到小球：梳理相对性原理与协变性的关系
作者 / 小熊慢慢说
1. 隐秘的相对性原理
1.1 调皮的卤蛋
想象一个场景。
你坐在火车站候车室里，手机上翻着娱乐新闻渐觉没了意思，伸个懒腰恰好碰到身旁的碗装泡面。嗯······要不来一碗？于是，你开始撕包装，放佐料，倒开水，5分钟后，香味扑鼻而来。你小心翼翼地夹起圆润Q弹的卤蛋，正当送到嘴边时，一个滋溜，卤蛋竖直掉了下去，直直落入碗中，溅起油腻的汤汁，弄脏新买的衣服。
要向你推荐洗衣粉吗？不是的，其实我想问你：如果坐在匀速前进的火车上，重复上述操作——“撕包装，放佐料，倒开水，5分钟后，小心夹起卤蛋，正当送到嘴边时，一个滋溜，卤蛋竖直掉下去”，接下来会怎样？
A. 卤蛋仍然落入碗中，溅起油腻的汤汁；
B. 卤蛋缓慢落入碗中，汤汁平静无波澜；
C. 卤蛋漂浮半空，同桌目瞪口呆。
你可能会说：“你特么不是在逗我！情况显然和候车室里的一样嘛，选A。”恭喜，你发现了物理学中一条非常重要的原理——力学相对性原理。
其实早在1632年，伟大的物理学家伽利略就在《关于哥白尼和托勒密两大世界体系的对话》一书中，写到类似场景要表达的思想，只不过当时没有火车（1804年瓦特才造出了蒸汽机车），他用的是轮船。
伽利略认为：在一个匀速而封闭的船舱里，你看到单摆的摆动，水向瓶中滴落，虫子的飞行，鱼的游动等力学现象，和在地面上看到的没什么分别，也就是我们无法通过观察这些现象来区分船是静止的还是运动的。
用现代术语概括伽利略的这一思想就是：
一个对于惯性系作匀速直线运动的其他参考系，其内部所发生的一切物理过程，都不受系统作为整体的匀速直线运动的影响。
这就是力学相对性原理。怎么理解这句话呢？
相对性原理表达了两个深刻的内涵。
“
为表述的直观和简洁，下文所提相对性原理皆指伽利略的力学相对性原理，不涉及爱因斯坦的狭义或广义相对性原理及洛伦兹变换。
”
1.2 相对性原理的内涵之一
第一个内涵是，我们无法通过各种力学现象（或力学实验）区分参考系是静止的还是做匀速直线运动。
什么意思呢？比如下面这个场景，在没有看《泰坦尼克号》的情况下，你能分辨得出这段掀桌子事件是在船上发生的，还是在某个贵族的家里呢？
又或者，即使你知道这是在船上发生的，你还能通过桌子的翻转，茶碗的掉落，判断船是停在海上，还是朝着未知的礁石驶去呢？
嗯，想必你有感觉了。我们其实无法通过诸如桌子的翻转，茶饭的掉落等力学现象，去判断静止和匀速运动。你看，我们甚至连主角身在海上还是地面都搞不清楚。
似乎有点道理哈。
不过，当你从Rose惊诧的表情中回过神时，或许你会感到这好平常，好简单哦，简单到也没什么令人惊奇的呀？因为，如果桌子不这么翻，茶碗不这么掉，而是按照别的什么方式运动，那才叫诡异呐！
是的，相对性原理简单到理所当然，甚至不值一提。然而，正是这么简单的原理，却拯救了日心说，让日心说在地心说面前重新站起来，革新了人们对宇宙的认识，所以它真的很重要。
（关于相对性原理如何解开日心说的枷锁问题，详情可参阅长尾科技的文章《相对论前夜：牛顿和麦克斯韦的战争》）
另一方面，既然我们无法通过各种力学现象区分参考系是静止还是匀速直线运动，那么它俩其实没什么分别，干脆把它们统称为“惯性系”吧。这样，当以地面为参考系时，地面是惯性系，以匀速行驶的火车为参考系时，火车是惯性系。我们不再区分静止系和匀速系。概括地说：所有的惯性系平权。
1.2 相对性原理的内涵之二
第二个内涵是，对力学规律而言，一切惯性系都是等价的。
“
爱因斯坦更进一步，不仅对力学规律，对所有的物理规律，一切惯性系都是等价的。
”
如果说第一个内涵告诉我们，在任何惯性系下做相同的事情（比如释放一个小球），它们的表现一样，第二内涵则告诉我们，不仅力学现象的表现一样，它们满足的力学规律也是一样的。
比如，你在海南从5米高处自由释放一个小球，约1秒落地，轨迹是直线，当你在夏威夷同样从5米高处自由释放小球，也约1秒落地，轨迹也是直线，不多一秒也不少一秒，轨迹更不会是曲线。为啥？因为它们一定满足相同的力学规律——自由落体公式。
万一在两地的落体公式有差异，人们将观察到小球不同的运动表现，类似卤蛋问题BC选项的诡异场景将会发生。万一在火车上或是轮船里，在乡间茅屋或是高楼大厦，人们看到的力学现象依赖不同的力学规律，那世界早就乱套了。
所以，力学规律在不同惯性系下一定要保持相同的数学形式。也就是说，力学规律要服从相对性原理。
关于相对性原理的讨论，我们就谈到这里，重要的结论总结如下：
①所有的惯性系平权。（谈的是惯性系）
②力学规律在不同惯性系下要保持相同的数学形式（谈的是力学规律）
让我们一睹发现这一重要原理的科学家——伽利略，然后开启新的探索。
2. 到别的惯性系耍耍
2.1 伽利略变换与协变性
我们已经知道，所有惯性系下的力学规律要相同，那么有个问题便会立马冒出来：
当科学家研究出一个力学规律，发现它在某一惯性系下成立，怎么才能知道它在别的惯性系里也成立呢？
由于力学规律主要研究力与运动的关系，那么，为了回答这个问题，得先思考另一个问题：我们是怎么掌握物体的运动状态的呢？
大致的操作一定是这样的：先观察和记录物体的时空坐标（即时间和空间的坐标信息），然后把时空坐标代入到一系列的物理方程中去，一通计算下来，就得到物体运动的完整信息，预测物体未来会怎么样。这里什么是至关重要的呢？
是时空坐标。因为若没有时空坐标，对运动的预测就成了无源之水，力学规律也将无从表述。
下面我们来看看时空坐标的表述。如下图所示，我们可以把质点相对于系的位置坐标和所处时刻记录为，它表达了质点什么时刻在什么位置，这就是时空坐标。
为讨论不同惯性系下的力学规律，我们自然要问：在别的惯性系里，质点的时空坐标又是多少呢？
比如说，在相对地面以速度匀速行驶的火车系里，质点的时空坐标与有什么关系呢？
伽利略告诉我们，他们满足下列关系：
这一组时空坐标的转换方式，被称为伽利略变换。它的意义在于，如果已知物体在某个惯性系下的时空坐标，通过伽利略变换，就能知道物体在别的惯性系下的时空坐标。它为两个惯性系搭起了沟通的桥梁，已知我的就能推知你的。（伽利略变换的推导过程非常简单，在任何一本普通物理教科书中都有提到，我就不复制粘贴了，感兴趣的朋友自行查阅）
“
另外，如果在第一个式子两端分别对时间求导，我们还能得到两个惯性系下的速度变换公式：.
”
有了伽利略变换这座桥，我们就可以拿它检验物理规律是否服从相对性原理。
怎么检验呢？我们举个例子。
比如，在 系用时空坐标，加上物质的某些固有属性（像质量，电荷量什么的），分别定义了三个物理量，通过研究发现它们存在规律。
为了看系中的情况，我们对上面上个物理量施加伽利略变换，就得到了系中对应的三个物理量（要注意的是，它们物理意义与相同，但数值可以不同）。如果它们同样满足，也就是和系中的数学形式相同，我们就说这一物理规律在施加伽利略变换后具有协变性。协变的意思是，各个物理量协同起来一起变，使关系式仍成立。
所以，答案也就出来了。若物理规律在伽利略变换下具有协变性，它就不仅在一个惯性系下成立，在其他惯性系下也会成立，即服从相对性原理。
那么，日常生活中被广泛应用的力学规律，具有协变性吗？
2.2 牛顿运动定律具有协变性吗？
我们在小学二年级就知道，牛顿运动定律是所有力学规律的基石。所以，要想回答所有力学规律是否具有协变性，自然得先回答牛顿运动定律是否具有协变性。我们不妨以牛顿第二定律为例，证明一下。
牛顿第二定律的常见数学形式是。这三个物理量中，质量 是物体的固有属性，在不同惯性系下一定具有相同的值，是个不变量。外力 也是一个不变量，想想看，若在匀速运动火车系下用弹簧测力计竖直拉一个物块，弹簧伸长，显示拉力，在地面系看到的拉力也会是，力也是个不变量。
这样，为证明不同惯性系下牛顿第二定律的数学形式是否不变，就变成了看加速度在伽利略变换下是否保持不变。
在系中，加速度被表达为
在相对地面以速度 匀速运动的火车系中，利用速度变换公式，加速度就是
我们发现，火车系的加速度 跟地面系的加速度恰好一样。因此，牛顿第二定律在火车系和地面系具有相同的数学形式。
所以，牛顿第二定律具有协变性，也就表明了牛顿第二定律服从相对性原理。
要注意的是，不只是牛顿第二定律，牛顿力学的所有定律都具有协变性。证明方法和上面展示的类似，你可以尝试去做做。
总结一下：若力学规律在伽利略变换下具有协变性，它就不仅在一个惯性系下成立，在其他惯性系下也成立，即服从力学相对性原理。
3. 卤蛋给你智慧
虽然卤蛋弄脏了你新买的衣服，可它的美味让你回味无穷，你边吃边唠叨着：“具有协变性就服从相对性原理······具有协变性就服从相对性原理······吃卤蛋就要张嘴咯······那么······张嘴就要吃卤蛋吗？”
哎呀，这可是直达灵魂的一问！嗯，真是了不起的卤蛋。
我们在小学二年级就学过，若由可以推出，由却不一定能推出。既然物理规律具有协变性表明它服从相对性原理，那么反过来，服从相对性原理的物理规律，一定具有协变性吗？
为了回答这个问题，最好的办法莫过于找到一个例子，也就是找到一个物理规律，它虽服从相对性原理，但是不具有协变性。找哪一个呢？
要不先试试机械能守恒定律吧。
那么，机械能守恒定律服从相对性原理吗？
我们知道牛顿运动定律是服从相对性原理的，它就像获得上帝颁发的通行证，凭着伽利略变换，能在所有惯性系间畅行无阻。它又像一颗种子，把它种在毫无分别的土壤（惯性系）中，也一定能结出相同的果实。功能原理就是这众多果实之一，机械能守恒定律作为功能原理的一个推论，一定是服从相对性原理。
“
在中学，机械能守恒定律被表述为：对系统而言，若除重力（或弹簧弹力）以外的力不做功，系统内只有动能和重力势能相互转化，总的机械能保持不变。
”
那么最关键的问题是，机械能守恒定律具有协变性吗？
4. 向实验要答案
呃······卤蛋面吃完了吗？要不把桌面收拾一下吧，我们得做点实验了。
虽然火车的餐桌没实验室里的方便，但足够应付接下来的实验了。目的就是，找到一个例子，使得机械能守恒定律在伽利略变换下不具有协变性。
“
接下来会有一些数值计算，不是很难，请耐心看完，对随后的深入分析很重要。
”
4.1 '小球振一振'实验
好的，桌面已经被收拾得光滑如镜了。你从旅行包里拿出一根轻弹簧（劲度系数，原长）和两个相同的小球（质量），将两小球分别连接在弹簧两端，静置于桌面上。然后保持弹簧中点位置不变，对称地把两小球拉开一定距离，使弹簧伸长，然后同时松手。
就像下面动图展示的这样。
4.1.1 火车系看'振一振'
把火车设为惯性系。不难发现， 弹簧双振子系统内除了弹力做功之外，没有其他力做功，系统的机械能一定守恒。在火车系，我们分别讨论弹簧处于最长和原长两个状态时系统的机械能情况。
弹簧最长时，俩球动能为，弹簧有弹性势能；
当弹簧原长时，弹性势能为，由机械能守恒，可以知道两小球此时的速度大小为，只是方向相反。
嗯，火车里的情况挺简单。我们再看地面系里会怎样。
4.1.2 地面系看'振一振'
把地面设为惯性系。假设火车相对地面的速度。我们同样去讨论弹簧处于最长和原长时系统的机械能情况。
弹簧最长时，由于变换惯性系不改变弹簧的长度，所以伽利略变换下的弹性势能依然是，但动能不一样，利用伽利略速度变换公式，易知俩球速度大小变成了，所以俩球的动能都为。所以此时系统机械能为；
当弹簧原长时，弹性势能为，跟火车系的一样。但是俩小球的速度，由于叠加火车速度的缘故变得不一样了，左小球速度为，右小球速度为。这样，俩小球的动能分别为，。此时系统的机械能还是。
4.1.3 '振一振'的结果
哎呀，计算发现，机械能在火车系是，地面系是，不同惯性系下虽然机械能的具体数值不一样，但在两惯性系下依然守恒，保持协变性。
但是请注意，我们的实验目标并没有达到，重申一下我们的目的，希望找到机械能在变换参考系后不守恒的情况。虽如此，但所谓失败是成功的妈妈，先把这个例子留着吧，说不定对接下来的分析有帮助呐。
4.2 “小球滚一滚”实验
接下来我们改变策略。设计下面这个'小球滚一滚'实验，看看目标能否实现。
我们将一个光滑的的圆弧轨道置于桌面，与其平滑连接。相对与桌面，我们再给小球一个初速度，小球随后会冲上圆弧轨道。
我们再一次讨论火车系和地面系下，小球子在桌面和最高点的机械能分别是多少。
4.2.1 火车系看'滚一滚'
火车系的情况依然很简单。由于系统内只有重力做功，机械能当然是守恒的。(以桌面为零势能面)
小球在桌面时，动能为，若以桌面为零势能面，那么系统机械能就是。
当小球在最高点时，由机械能守恒 ，可求得小球上升的最大高度为。
4.2.2 地面系看'滚一滚'
现在转向地面系，情况会怎样呢？
小球在桌面时，由于叠加了火车的速度，小球速度变成了，动能相应地变为。而重力势能显然还是为零，所以系统机械能是。
当小球在最高点时，由于高度还是，所以重力势能是 。现在看在最高点的动能。小球虽然竖直速度为，但是在地面系的人看来，小球会有水平速度，所以动能为。这样，小球在最高点的机械能为。
4.2.3 '滚一滚'的结果
在小球滚一滚实验中，机械能在火车系是，而在地面系是5\mathrm{J}' data-formula-type='inline-equation'>。
啊哈！计算结果表明，对地面系的人看来，机械能守恒定律在伽利略变换下不具有协变性！
那么，你会兴奋地以为自己推翻了机械能守恒定律，或者断定机械能守恒定律不服从相对性原理吗？
5. 区分不同的问题场景
第一点：发现小球在地面系的机械能不守恒，不代表在地面系机械能守恒定律不成立。
为什么这么讲呢？因为某一系统的机械能具体为多少，以及在初末状态相不相等，跟机械能守恒定律本身成不成立是两码事。通俗地说，一个谈的是“事”，一个谈的是“规律”，'事'可以不同，但“规律“要相同。
比如下面这个场景。
船上的船员自由释放一个小球，他看到小球做自由落体运动，而岸边的人看到小球却做平抛运动。虽然运动状态不同，但是所满足的物理规律是一样的。你看，“事儿”不同，但“规律”相同。
所以，如果你想在地面系维护机械能守恒的尊严，只需要把'小球滚一滚'这个实验原封不动地搬到地面系再做一次就可以了。
也就是要注意区分两类问题场景，一类是在不同惯性系下观察同一事件，另一个是在不同惯性系下分别观察相同的事件。请体会下边儿两张图的区别。
所以，当我们在谈某个物理规律是否具有协变性，以及是否服从相对性原理时，要注意我们谈的是“在不同惯性系下分别观察相同的事件，它们的物理规律相同”，也就是上图的第二个场景，而不是第一个。
6. 规律的条件可能不协变
回顾“小球振一振”与“小球滚一滚”两个实验，为什么在前一个实验中，小球的机械能可以在两个惯性系下都能保持不变，而在后一个实验中却不行呢？
原因还得从机械能守恒定律的成立条件上去找。
在“振一振”的实验中，两小球和弹簧构成的系统除了系统内弹力做功之外，其他的外力都不做功，不仅如此， 系统所受的合外力还为零！无论在火车系还是地面系观察，皆是如此。
反观“滚一滚”实验就不一样了。如下图所示，小球在冲上圆弧轨道的过程中，圆弧轨道对小球是有弹力的。对火车系来说，由于弹力始终与小球速度方向垂直，所以它对小球不做功，机械能守恒。
然而对地面系的人来说，小球由于叠加了火车的速度，使得小球的速度方向与轨道弹力的方向并不是始终垂直的，而是夹了个钝角，导致轨道弹力对小球做了负功。而这，恰恰就是地面系的人观察到机械能减少的真正原因。如下图所示。
对比两个实验，怎么才能在两个惯性系下都看到系统的机械能守恒呢？那就是不仅要使系统所受合外力不做功，而且连合外力为得为零，也就是系统得是完全“孤立”的，外界对它不能有一丁点儿的作用。很显然，这样的条件在日常生活中极为苛刻，因为几乎找不到绝对“孤立”的力学系统。
所以，若在别的惯性系下观察到系统的机械能不守恒，这事儿再正常不过了，没必要大惊小怪。
通过这两个实验，我们还可以知道，有些物理规律不具有协变性，是跟它的成立条件不协变有关的。比如“滚一滚”实验中，机械能守恒定律的成立的成立条件——合外力不做功——在火车系得到了满足，可是到了地面系就天然地不满足，也就导致了地面系观察不到小球的机械能守恒。
7. 相对性原理与协变性的关系
说了这么多，到了该总结的时候。我们已经知道，物理规律具有协变性就一定服从相对性原理，而服从相对性原理，却不一定具有协变性。
造成这种差别的原因又是什么呢？
其实，通过分析牛顿第二定律和机械能守恒定律这两个例子，答案已经出来了，关键是看规律的附加条件。
有些规律——比如牛顿运动定律——没有附加条件，它们往往更基本更普遍，对这类规律而言，具有协变性和服从相对原理是等价的。
而有些规律——比如机械能守恒定律——是有附加条件的（如初始条件、边界条件、规范条件等），这类条件通常不具有协变性，由此就导致了这些规律不具有协变性。而不具有协变性却仍然服从相对性原理，是由于这些规律本身蕴含在更一般的规律之中，可由这些更普遍的规律推导得出（如功能原理对于机械能守恒定律）。
讲到这里，我不由得想起了北京大学陈秉乾教授在讲库仑定律时说过的一句话：“物理规律是分层次的，上一层的规律要管着下一层的规律。”
那么，为什么普遍的物理规律要服从相对性原理，并具有协变性呢？它们有没有被某个上层的物理规律管着呢？
而这是另一个宏大的话题了，那就是科学家们绞尽脑汁要搞明白的守恒性与对称性，这是人类对美的终极追求。对这个主题感兴趣的朋友，可以看看长尾科技的另一篇文章《深度：杨-米尔斯理论说了啥？为什么说这是杨振宁超越他诺奖的贡献》
8. 旅程的结束
匀速的火车开始减速，我们的旅程也即将到达终点。从调皮的卤蛋到小球的实验，我们讲了很多东西：
从相对性原理的内涵到伽利略变换与物理规律的协变性，我们了解到，上帝并不偏爱某一特殊的惯性系，上帝是最公平的存在。
从卤蛋带给我们的思考到向实验要答案，我们发现，有些命题正着说成立，反着说却不一定成立，从正反两个方面去思考问题，恰恰能让我们对规律的认识更加深刻而明晰。也正是由于这个思考让我们知道，不要试图把协变性与相对性原理捆绑在一起，它们并不是互为充要条件的。
9. 参考文献
感兴趣的朋友若想从理论高度深入了解力学相对性原理与协变性的关系，可以看看下面列出文献，尤其是形成结论的文献[1] [2] [3] [4] [5]。
[1] 赵凯华.澄清对相对论性原理和协变性的误解[J].大学物理,2020,39(01):12-13. [2] 编者的话[J].大学物理,2002(03):18. [3] 朱如曾.相对性原理对普遍定律和非普遍定律参考系变换性质的不同要求——关于协变性疑难的进一步讨论[J].大学物理,2002(03):19-23. [4] 朱如曾.相对性原理及其对自然界定律的协变性要求——机械能守恒定律协变性疑难的解答[J].大学物理,2000(02):15-19 26. [5] 喀兴林.编者的话[J].大学物理,2000(02):27-29 34. [6] 高炳坤.“机械能守恒定律是否遵从相对性原理”辨[J].大学物理,2000(02):20-22. [7] 高炳坤.机械能守恒定律和相对性原理[J].大学物理,1999(01):3-5. [8] 蔡伯濂.“关于力学相对性原理与机械能守恒的来稿综述[J].大学物理,1994(01):20-22. [9] 管靖.力学相对性原理与机械能[J].大学物理,1991(11):21-24. [10] 赵凯华.新概念物理教程力学[M]北京：高等教育出版社,2004.
致谢
本文在修改中得到一些网友真诚而且重要的意见，特别是Core、长尾逍遥、一夜星辰、强电弱电那些事、暖球、晨曦，向你们表示由衷地感谢。