模型解题 | 巧构辅圆解难题（一题多解）

方法一：巧构圆（解法提供-知新初中数学研究会-西安张引路）

如图，构造△ABC的外接圆，圆心O，过O作OE⊥AB于E，过O作OF//AB，交CD延长线于F.连接OA,OC,AB.

∵AD=6,BD=20

∴AE=BE=13

∴DE=7

∵∠ACB=135°

∴∠AOB=90°

∴OE=13,AO=BO=CO=13√2

由辅助线易得，四边形OEDF是矩形.

∴OF=7

由勾股定理可得，CF=17

∴CD=4

方法二：勾股定理

如图，延长AC，过点B作BE⊥AC延长线于E

设，BE=x,因为∠ACB=135°，所以∠BCE=45°，则CE=x,BC=√2x,则勾股定理可得其余线段的长度如上图。

由题很容易得到△ADC∽△AEB，则

则CD=4或9√10（多出来一个解，有谁知道为什么吗？）.

备注：上面的方程很难解！所以虽然这个方法可以解出来，但是不推荐。如果数字小一点，可以使用。

向另外一边作垂线一样可以求出，如下图：

评述：

第一种方法，根据135度圆周角所对圆心角是90度，巧妙的构造圆，然后巧妙转化，解决问题。第二种方法，从135度的邻补角是45度入手，构造直角三角形。通过勾股定理来解决。第一种方法辅助线多，构思巧妙，不容易想到，第二种方法容易想到，但是数字比较大，方程难解。从普通的条件入手，开拓思路，张引路老师的方法还是很巧妙的

解法三：面积法(郑州朱建国提供）

如上图，过A作AE//BC,BE//AC交于E点.过E作EF⊥BC于F.

因为∠ACB=135°，所以∠CBE=45°

∴

∴

∴

解得 x=4

简评：这个方法同样存在方程难题的问题，如果数字比较小可以用。

解法三变式

三角形的面积公式可以表示为

直接用三角形面积公式，不过初中没有学过这个公式，还有一个就是sin135°的问题，好的学生可以补充，老师参考一下，拓宽一下思路。

如图，设CD=x，则根据勾股定理可得AC，BC如上。

解得x=4

简评：方法和解法一一样，解法一是站在学生的角度考虑。这个方法略微超出初中的范围。

解法四：巧妙翻折用勾股（江苏淮安胡洪军）

如上图，把ΔADC沿AC翻折得到ΔAEC，把ΔBDC沿BC翻折得到ΔBFC，延长AE，BF交于G，设CD=x，则其它的线段值如上图。

∵∠ACB=135°

∴∠CAB ∠CBA=45°

∴∠GAC ∠GBC=90°

∴∠G=90°

在直角ΔAGB中，由勾股定理得：

解得：x=4,x=-30(舍去）

x=4时，直角ΔAGB的三边分别是10,24,26,大家熟悉的勾股数5，12，13的2倍。

简评：估计这解解法就是出题人本来期望的解法。建立在熟悉的基础上，又高于基础，体现了对思维的训练。很巧妙的解法。

解法五：正切法(江苏淮安沈正凯提供）

简评：神一般的解法，可一步得结果（如上解法含推到过程）！

解法六：一线三角K形图（江苏淮安胡洪军提供）

如图，延长BA，BC，过A作FA⊥AC交BC延长线于F，过F作FE⊥AB交BA延长线于

∵∠ACB=135°

∴∠ACF=45°

∴AC=AF

很容易得到ΔADC≌ΔFEA

设CD=x，则EF=AD=6，AE=CD=x

∵∠CDB=∠FEB=90°，∠B=∠B

∴ΔBDC∽ΔBEF

∴

简评：通过135°和45°的联系，构造出一线三角K字模型，巧妙创造相似条件，思路开阔！

解法七：“12345”大法(浙江杭州陈汉提供）

如图，在等腰直角△ACB中，设BC=b，则AC=b，在AC上任取一点D，连接BD，则∠1 ∠2=45°

应用上面的结论：

简评：这个方法最先出现在于特的讲座中，对于解决和是45°两角问题非常好用，经常可以秒杀，受到许多老师推崇。

解法八：巧构相似（陕西西安孙冰钰提供）

延长CD，在CD延长线上截取DM，使DM=AD，截取DN，使DN=DB，则△ADM，△BDN都是等腰直角三角形，如下图。由题可知DM=AD=6，DN=BD=20.

因为∠ACB=135°，∠AMC=45°，∠CNB=45°

所以∠CAM=∠NCB

所以△AMC∽△CNB

简评：本方法和一线三角有异曲同工之妙，利用135°和45°的特殊关系构造出相似，构思巧妙。

解法九：巧构相似（福建姚国成）

如上图，在AD上截取DE，使DE=CD，连接CE，则ΔCDE是等腰直角三角形。设CD=x,则ED=6，AE=6-x.

∵∠ACB=135°

∴∠A ∠B=45°

∵∠A ∠1=45°

∴∠1=∠B

∴ΔACE∽ΔABC

∴AC²=AE×AB

∴x² 6²=(6-x)×26

解得：x=4,x=-30(舍去）

简评：这种解法没有构造很多辅助线。建立在熟悉的基础上，又高于基础，体现了对思维的训练。很巧妙的解法。

解法十：巧构相似（江苏淮安沈正凯）

如上图，在AD上截取DE，使DE=CD，连接CE，在BD上截取DF，使DF=CD，连接CF，则ΔECF是等腰直角三角形。设CD=x,则ED=x，AE=6-x,DF=x,BF=20-x,CE=CF=√2x.

∵∠ACB=135°

∴∠A ∠B=45°

∵∠ACB=135°,∠ECF=90°

∴∠ACE ∠BCF=45°

∵∠A ∠ACE=45°

∴∠ACE=∠B,∠A=∠BCF

∴ΔACE∽ΔCBF

∴AE:CF=CE:BF

∴2x²=(6-x)(20-x)

解得：x=4,x=-30(舍去）

简评：这种解法和上种解法差不多，构造两个等腰直角三角形后，表示更方便一点，很巧妙的解法。

解法十一：一线三角K形图（福建姚国成提供）

如图，构造矩形AEFB，在ＥＣ上截取EG=x，则CG=6-x，在FC上截取FH＝ｘ，则ＣH＝20-ｘ，

∵∠ACB=∠AGC=∠CHB=135°

∴∠GCA=∠HBC

很容易得到ΔAGC∽ΔCHB

∴AG:CH=GC:HB

∴2x²=(6-x)(20-x)

解得：x=4,x=-30(舍去）

简评：通过135°和45°的联系，构造出一线三角K字模型，巧妙创造相似条件，思路开阔！

文章来源：马老师数学工作室（ID：MaLaoShiSXGZS），作者：马跃波；如存在文章/图片/音视频使用不当的情况，或来源标注有异议，请联系微信：ABC-shuxue处理。